阿星的显微镜

半径从 2 变成 4，扩大了 4 ÷ 2 = 2倍。
如果面积和半径成正比例，面积也应扩大 2 倍：4π × 2 = 8π。
但实际计算：新面积 S' = π × 4² = 16π。
面积实际扩大了 16π ÷ 4π = 4倍。
4倍恰好是 2倍 的平方 (2²)。所以，面积是和半径的平方成正比例。

标准算式：判断两个量是否成正比例，看它们的比值是否恒定。
计算 S 与 r² 的比值：\( \frac{S}{r^2} = \frac{\pi r^2}{r^2} = \pi \)（恒定）。
计算 S 与 r 的比值：\( \frac{S}{r} = \frac{\pi r^2}{r} = \pi r \)（会随着 r 变化）。
✅ 结论：S 与 r² 的比值恒定，成正比例；S 与 r 的比值不恒定，不成正比例。

阿星的避雷针：

大多数人会怎么错：看到前半句“周长和直径成正比例”（正确），会顺理成章地认为后半句“面积和半径成正比例”也是正确的，于是打“√”。

图解陷阱：回顾上面的SVG图。周长（C=2πr）就像测量圆的“边框长度”，半径扩大2倍，边框长度也扩大2倍，这是一维的线性关系。而面积是填充整个圆，半径扩大2倍，填充物需要扩大4倍，这是二维的平方关系。把两种不同维度的关系混为一谈，就会掉坑。

正确思路：严格套用定义。判断两个量是否成正比例，就看它们的商（比值）是不是一个固定的数。
① 周长÷直径 = 2πr ÷ 2r = π（固定），✅成正比例。
② 面积÷半径 = πr² ÷ r = πr（不是固定数，它会随着r变化！），❌不成正比例。
面积÷(半径的平方) = πr² ÷ r² = π（固定），这才是正比例关系。

思维迁移：这不再是抽象的圆，而是生活中的“圆面积”问题。关键在于识别“价格与面积成正比”。而面积又与直径（或半径）的平方成正比。
6英寸和12英寸指的是披萨的直径。直径扩大倍数为：12 ÷ 6 = 2倍。
因此，面积扩大倍数为：2² = 4倍。
既然价格与面积成正比，那么价格也应扩大4倍。
合理价格应为：30元 × 4 = 120元。
💡 这下你明白，为什么大披萨看起来贵很多，但其实单价（每平方英寸的价格）可能更划算了吧！这就是“平方关系”在生活中的力量。