六年级数学期末急救：圆里的正方形易错题合集与避坑指南 | 星火网：典型例题精讲

💡 阿星精讲：圆里的正方形 的核心避坑原理

• 概念重塑：大家好，我是阿星！想象一下，我们有一个圆形的木桶（圆），想在里面塞进一个最大方形的盒子（正方形）。这个盒子可不能正着放，必须“斜着”卡进去！它的四个角刚好顶在桶壁上。此时，盒子的对角线，就是这个木桶的直径！所以，求这个盒子的面积，你不能傻乎乎地去找边长（因为边长不是整数，是 \( \sqrt{2} \) 相关的），而应该像切蛋糕一样，沿对角线把它劈成两个一模一样的三角形。每个三角形的底=圆的直径，高=圆的半径。一个三角形面积是 \( \frac{直径 \times 半径}{2} \)，两个就是 \( 直径 \times 半径 \)。这个方法又快又准，专治各种“求不出边长”的尴尬！
• 避坑口诀：外圆内方真奇妙，最大正方向里瞧。边长未知不用恼，三角分割是高招。对角线是圆直径，一半作高要记牢。

⚠️ 90%的学生都会踩的3大“陷阱”

• ❌ 陷阱一（概念混淆型）：误认为圆内最大正方形的边长等于圆的半径，甚至等于直径。想当然地直接用半径或直径去求面积。

→ ✅ 正解：圆内最大正方形的边长与半径的关系是 \( 边长 = \sqrt{2} \times 半径 \)，但这并不是关键。关键是它的对角线等于圆的直径。用“三角形法”求面积根本不需要知道边长。

• ❌ 陷阱二（视觉误导型）：把题目中给出的数值（如直径、半径）直接当作正方形的边长使用，或者看到图形中正方形的一条边好像对着圆的一部分，就错误地用它去套公式。

→ ✅ 正解：画图！务必在图中明确标出正方形的对角线，并确认它与圆直径的关系。任何计算都必须基于“对角线=直径”这个铁律。

• ❌ 陷阱三（计算粗心型）：知道用“直径×半径”的公式，但在复杂题目中，容易把半径、直径、半直径搞混，或者在求半径时忘记除以2，最终导致结果差4倍（混淆 \( d^2 \) 和 \( d \times r \) ）。

→ ✅ 正解：牢记公式：正方形面积 \( S = 直径(d) \times 半径(r) = 2r \times r = 2r^2 \)。在计算前，先明确题目给的是 \( d \) 还是 \( r \)，再代入这个最简洁的公式。

🔥 经典易错题精讲（附 SVG 图解）

🚀 易错专项训练（你能全对吗？）

第一关：火眼金睛（判断对错 5题）

1. 在同一个圆里，它的内接最大正方形的面积总是它自身面积的一半。（ ）
2. 一个直径为 \( 8 \) cm的圆，它内部最大正方形的边长是 \( 4 \) cm。（ ）
3. 已知圆内最大正方形的面积是 \( 18 \) cm²，那么这个圆的半径是 \( 3 \) cm。（ ）
4. 求圆内最大正方形的面积，可以用“直径 × 直径 ÷ 2”来计算。（ ）
5. 一个半径是 \( r \) 的圆，其内最大正方形的面积是 \( 2r^2 \)，这个正方形的对角线长是 \( 2r \)。（ ）

第二关：防坑演练（填空 5题）

1. 一个圆的半径扩大到原来的3倍，其内部最大正方形的面积扩大到原来的（ ）倍。
2. 在一个面积是 \( 113.04 \) cm² 的圆内，画一个最大的正方形，这个正方形的面积是（ ）cm²。（\( \pi \) 取3.14）
3. 一个正方形面积是 \( 32 \) 平方分米，它外部所接的最小圆的面积是（ ）平方分米。（\( \pi \) 取3.14）
4. 下图是一个圆和其内接最大正方形，已知阴影部分（正方形外、圆内的部分）面积是 \( 28.5 \) cm²，圆的直径是（ ）cm。（\( \pi \) 取3.14）
   
   （提示：阴影面积 = 圆面积 - 正方形面积）
5. 一个圆形纸片，剪去一个最大的内接正方形后，剩余部分的面积是 \( 86 \) cm²，原来圆形纸片的半径是（ ）cm。（\( \pi \) 取3.14，结果保留整数）

答案与详细解析

第一关：火眼金睛

1. ❌ 错。 圆面积是 \( \pi r^2 \)，内接最大正方形面积是 \( 2r^2 \)。两者比值是 \( 2r^2 / \pi r^2 = 2 / \pi \approx 0.637 \)，不是一半 \( 0.5 \) 。
2. ❌ 错。 直径 \( 8 \) cm，则半径 \( 4 \) cm。正方形边长应为 \( \sqrt{2} r = 4\sqrt{2} \) cm，不是 \( 4 \) cm。
3. ✅ 对。 由 \( S_{正}=2r^2=18 \) 得 \( r^2=9 \)，所以 \( r=3 \) cm。
4. ✅ 对。 因为 \( S_{正} = d \times r = d \times (d/2) = d^2 / 2 \)。
5. ✅ 对。 描述完全正确，这正是“外圆内方”的核心关系。

第二关：防坑演练

1. 9。 半径 \( r \rightarrow 3r \)，正方形面积 \( 2r^2 \rightarrow 2 \times (3r)^2 = 18r^2 \)，扩大到 \( 18r^2 / 2r^2 = 9 \) 倍。
2. 72。 由 \( S_{圆}=\pi r^2 = 113.04 \) 得 \( r^2 = 113.04 \div 3.14 = 36 \)， \( r=6 \) cm。 \( S_{正} = 2r^2 = 2 \times 36 = 72 \) cm²。
3. 50.24。 正方形外部最小的圆，就是它的外接圆，此时正方形是圆内最大的正方形。由 \( S_{正}=32=2r^2 \) 得 \( r^2=16 \)。 \( S_{圆}=\pi r^2 = 3.14 \times 16 = 50.24 \) 平方分米。
4. 10。 设圆半径为 \( r \)。阴影面积 \( = \pi r^2 - 2r^2 = 28.5 \)。即 \( (3.14 - 2) r^2 = 1.14 r^2 = 28.5 \)，得 \( r^2 = 25 \)， \( r=5 \)。直径为 \( 10 \) cm。
5. 10。 设圆半径为 \( r \)。剩余面积 \( = \pi r^2 - 2r^2 = 86 \)。即 \( (3.14 - 2) r^2 = 1.14 r^2 = 86 \)， \( r^2 = 86 \div 1.14 \approx 75.44 \)， \( r \approx \sqrt{75.44} \approx 8.69 \)。保留整数为 \( 9 \) cm。