阿星的显微镜

1. 看“心”的路程：圆心画出了一个更大的正方形，这个正方形的边长是 4 + 1 + 1 = 6cm（原边长+左半径+右半径）。

2. 算总路程：圆心总路程 = 大正方形周长 = 6 × 4 = 24 cm。

3. 算圈数：圆转动圈数 = 圆心总路程 ÷ 圆周长 = 24 ÷ (2 × π × 1) = 24 ÷ (2π) = 12/π ≈ 3.82 圈。

标准算式：\( \text{圈数} = \frac{\text{圆心轨迹总长}}{2\pi R} = \frac{(4+2R) \times 4}{2\pi R} = \frac{24}{2\pi} = \frac{12}{\pi} \)

阿星的避雷针：

大多数人会怎么错：直接用原图形的周长（16cm）去除以圆的周长。他们看的是“轨道”的长度，而不是“圆心”的路径。

图解陷阱：错误算法把圆想象成了一个“没有厚度的小点”在沿着正方形边缘滑动。实际上，圆有半径，它的“心”走的路径是一个更大、且在每个角都成圆弧连接的正方形。

正确思路：代入核心隐喻。圆心走过的路径总长是所有直线边（平移后）的长度和，再加上所有转角处圆心所走的圆弧长。对于绕正方形外侧一周，这四个90°转角处，圆心正好走了一个完整的圆周（4个¼圆周），所以总长 = 正方形周长 + 一个圆的周长 = 16 + 2π×1 = 16+2π。再用这个总长除以圆周长，得到 (16+2π)/(2π) = 8/π + 1 ≈ 3.55圈？等等，这里和我们母题答案对不上？

注意！这就是第二个陷阱。上面“正方形周长+一个圆周长”的算法，只适用于圆心路径在转角处是半径为R的圆弧的情况。而我们母题中，圆心路径是边长为6的大正方形，它的转角是90°直角，不是圆弧！这两个模型本质一样吗？是的，但需要理解：把大正方形的四个直角“掰弯”成四个半径为R的90°圆弧，连接起来正好是一个半径为R的完整圆周，总长度不变。所以：

圆心路径总长 = 大正方形周长 (6×4=24) = 原正方形周长(16) + 四个“角增量”(每个角R×2=2，共8) = 16 + 8 = 24。

而“四个角增量”拼起来，正好是一个半径为R的圆周长(2πR≈6.28)。我们看到24 ≠ 16+6.28。问题出在哪？出在“角增量”不是圆弧长，而是两条垂直的线段（各长R）。所以“加一个圆周长”的简便口诀，仅当圆心路径在角上走的是以R为半径的圆弧时才成立（例如圆在一个等宽的“U”形槽内滚动）。对于绕凸多边形外侧滚动，圆心走的是“圆角多边形”，每个角是两段垂直的R，总增加长度是2R × 角的个数。

因此，母题最稳的算法：圈数 = (原图形周长 + 2πR × (转角处圆心路径是圆弧的角数/360°) ) / (2πR)。对于绕凸多边形外侧，圆心路径在角处不是圆弧，是折线，所以增加的长度是2R × 角数。本题正确计算应为：(16 + 2×1×4) / (2π×1) = 24/(2π) = 12/π。

思维迁移：这依然是“看心”的问题。自行车车轮的圆心（即车轴）走过的路径，是一个半径为(5 + 0.3)=5.3米的大圆。

1. 圆心路径总长 = 2 × π × 5.3 = 10.6π 米。
2. 车轮周长 = 2 × π × 0.3 = 0.6π 米。
3. 车轮自转圈数 = 圆心总长 ÷ 车轮周长 = (10.6π) ÷ (0.6π) = 10.6 ÷ 0.6 = 53/3 ≈ 17.67圈。

识别模型：当圆绕着一个封闭曲线（多边形或圆形）外部滚动时，圆心轨迹是原曲线的“等距外扩线”，距离正好是圆的半径R。计算圈数，就是计算这个“外扩线”的周长是圆自身周长的多少倍。