小学数学余数同余问题图解攻略：典型例题精讲
适用年级
三年级
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最近更新
2025-12-21
阿星的余数同余解密指南：为什么是“公倍数+余数”？
💡 阿星解密：为什么公式长这样？
想象一下，你有一包糖果。老师说：“如果分给3个小朋友，会剩下1颗；如果分给4个小朋友，也会剩下1颗。”阿星立刻说：“那这包糖果，肯定是12的倍数，再加上那1颗！”
这背后的秘密是什么呢？我们把糖果的分配过程“慢放”来看：
👀 看图说话：
关键点拨：
图中“余出的1颗”是无论按3个还是4个来分，都多出来的、无法被完整分配的部分。如果我们把这1颗先拿开，剩下的糖果数就变得“完美”了——它必须既能被3整除（满足第一个条件），又能被4整除（满足第二个条件）。能同时被3和4整除的最小数是它们的最小公倍数12。因此，剩下的糖果数可以是12、24、36...即“12的倍数”。最后，别忘了把一开始拿开的那1颗加回来！所以总数 = 12的倍数 + 1。
🔥 三级跳挑战：从陷阱到精通
【母题演示】一个数除以3余1，除以4也余1，这个数最小是多少？
阿星的显微镜
题目说“余数相同”，我们先用“拿走余数”的思维。
标准算式：① 去掉相同的余数1，得到一个能同时被3和4整除的数。② 能同时被3和4整除的最小数是 \(3×4=12\)（因为3和4互质）。③ 把余数加回来：\(12+1=13\)。
验证：\(13÷3=4……1\)， \(13÷4=3……1\)。✔
【易错陷阱】一个数除以6余3，除以9也余3，这个数最小是几？很多同学会算：\(6×9+3=57\)。
阿星的避雷针：
大多数人会怎么错：直接用 \(6×9=54\)，然后 \(54+3=57\)。
图解陷阱：用分糖果的图想：拿走3颗糖后，剩下的糖要既能被6整除，也能被9整除。但54（6×9）不是“最小”的能满足这个条件的数！实际上，18（6和9的最小公倍数）的倍数就可以。
正确思路：① 去掉相同余数3。② 找6和9的最小公倍数，是18，而不是它们的乘积54。③ 加回余数：最小是 \(18+3=21\)。
验证：\(21÷6=3……3\)， \(21÷9=2……3\)。✔ (57虽然也对，但不是最小的)
【高手进阶】老师让同学们按顺序报数。小星发现，如果自己报的数除以5余2，并且除以7也余2，那么自己报的数就可能是第几名？已知人数在30到50人之间。
思维迁移：这完全就是“余数同余”模型！报的数 = 5和7的公倍数 + 2。5和7的最小公倍数是35。所以可能的数是 \(35+2=37\)， \(70+2=72\)...在30到50之间的只有37。所以小星可能是第37名。
📝 阿星的定海神针（口诀）：
余数若相同，先把它“减”掉。
公倍数填坑，最后别忘“加”回跑。
（减和加打引号，代表在思维中处理这个余数，具体计算可能是先减后加，也可能是直接在公式里“+余数”）
🚀 举一反三：巩固练习
一个数除以4余2，除以5也余2，这个数最小是多少？
（陷阱识别）一个数除以8余5，除以12也余5，这个数最小是 \(8×12+5=101\) 吗？为什么？
（生活应用）一筐苹果，平均分给6个或8个小朋友，都会多出3个。这筐苹果至少有多少个？
📚 答案与解析
【答案速查】
- 练习一：22。解析：去掉相同的余数2，找4和5的最小公倍数20，再加2。
- 练习二：不是。解析：最小应是8和12的最小公倍数24加5，得29。101也是符合条件的数之一，但不是最小的。
- 练习三：27个。解析：这就是“除以6余3，除以8余3”的问题。去掉3，找6和8的最小公倍数24，再加3。
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