盈亏问题图解：一盈一亏相加，除以分配差：典型例题精讲
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2025-12-21
盈亏问题的“条件转化”魔法：一图胜千言
💡 阿星解密：为什么公式长这样？
想象一下，老师给同学们分糖果。“每人5颗少2颗”，意味着如果按这个标准发，糖果发完了还欠着2颗，需要再拿来2颗才能满足每人5颗。
“每人4颗多3颗”，意味着按这个标准发，发完后还剩下3颗。
这两种分法，糖果的总数其实是一样的！那为什么结果不同呢？因为每人得到的糖果数不同。我们把两次分配想象成对同一批糖果的两次“重新打包”。
👀 看图说话：把“多”和“少”摆在一起
关键点拨：
比较上下两幅图。从“每人4颗”变成“每人5颗”，为了让每个人都多拿1颗（这个1颗就是“分配差”），我们需要更多的糖果。这些多需要的糖果从哪里来？首先，要把第二种方案里“多出来的3颗”用掉；但这还不够，我们还“缺2颗”。所以，为了给每个人都增加1颗，糖果总数需要的变化量是 \(3 + 2 = 5\) 颗。这个“5颗”就是图中问号代表的总差额。那么，有多少人每人多拿了1颗，才导致需要这5颗糖呢？显然，人数 = 总糖果差额 ÷ 每人分配差。
🔥 三级跳挑战：从陷阱到精通
【母题演示】老师给同学们分饼干。如果每人分5块，则缺少2块；如果每人分4块，则多出3块。请问有多少位同学？一共有多少块饼干？
阿星的显微镜
核心是对比两种分配方案下，饼干总数的“盈余”和“亏损”情况。“亏损”就是“少”，在计算总差额时，我们要把它当成“需要补上的数”来加。
标准算式：人数 = (盈余数 + 亏损数) ÷ 两次分配差
\( (3 + 2) \div (5 - 4) = 5 \div 1 = 5 (\text{人}) \)
饼干数：\( 5 \times 5 - 2 = 23 (\text{块}) \) 或 \( 4 \times 5 + 3 = 23 (\text{块}) \)
【易错陷阱】学校买来一批跳绳。如果每班分8根，还剩10根；如果每班分10根，则还差2根。学校有多少个班？
阿星的避雷针：
大多数人会怎么错：学生看到两个“还”，容易混淆“还剩”（盈）和“还差”（亏），可能错误地列式：\((10 - 2) \div (10 - 8)\) 或 \((10 + 2) \div (10 - 8)\)。
图解陷阱：在脑海中画图。第一种方案，分完后袋子里还剩10根（盈）。第二种方案，分到最后袋子空了还不够，还欠着2根（亏）。从“盈”到“亏”，跳绳总数需要减少的量是 \(10 + 2 = 12\) 根。
正确思路：明确“盈”和“亏”，代入公式：(盈 + 亏) ÷ 分配差 = 班数。
\( (10 + 2) \div (10 - 8) = 12 \div 2 = 6 (\text{个班}) \)。
跳绳总数：\( 8 \times 6 + 10 = 58 (\text{根}) \)。
【高手进阶】一个旅行团去租船。如果每条船坐6人，则多出3人没船坐；如果每条船坐8人，则有一条船只坐了4人（没坐满）。问有多少条船，多少人？
思维迁移：关键在于把“有一条船只坐了4人”转化为标准的盈亏条件。第二种方案，如果每条船都坐满8人，那么这条只坐了4人的船就还差 \(8 - 4 = 4\) 人。所以第二种方案相当于：每条船坐8人，则差4人（亏4人）。现在条件就变成了标准的一盈一亏：“盈3人，亏4人”。
船数 = \((3 + 4) \div (8 - 6) = 7 \div 2 = 3.5\)？等等，人数和船数必须是整数，这说明我们的转化可能有问题。仔细想，“差4人”意味着需要再来4人才能让所有船满员。但题目是“多出3人”和“一条船空4个位”，这两个条件是对同一批人说的吗？是的。从坐6人多3人，到坐8人有一条船空4位（即差4人），总人数不变。那么为了把多出的3人安排进船，并填满那条船的4个空位，一共需要增加 \(3 + 4 = 7\) 个“座位”，这是由每条船多坐 \(8-6=2\) 人实现的。所以船数 = \(7 \div 2\)，这得不到整数，说明原题数据可能为了简化通常会给成整数。我们调整一下数据：如果每条船坐6人多2人，每条船坐8人则有一条船空2位（即差2人）。那么船数 = \((2 + 2) \div (8-6) = 4 \div 2 = 2\)（条）。人数 = \(6 \times 2 + 2 = 14\)（人）。核心是练习“条件转化”的思维。
📝 阿星的定海神针（口诀）：
一盈一亏，相加就好；
两盈两亏，大减小妙。
除以分配差，答案立马到。
(注：“两盈”时用（大盈-小盈）÷分配差；“两亏”时用（大亏-小亏）÷分配差。)
🚀 举一反三：巩固练习
小朋友分苹果。每人分3个，多出7个；每人分5个，则少9个。有多少小朋友？多少苹果？
学校给宿舍分配房间。每间住6人，空出4个床位；每间住8人，则还有2个空床位。有多少间宿舍？多少学生？（提示：小心“空床位”的含义）
工厂包装礼品。如果用大盒，每盒装12件，最后会剩下5件装不完；如果改用小盒，每盒装9件，最后会剩下2件装不完。已知礼品总数在100-150件之间，请问礼品可能有多少件？
📚 答案与解析
【答案速查】
练习一：8人，31个苹果。
解析：(盈+亏)÷分配差 = (7+9)÷(5-3)=16÷2=8(人)。苹果：8×3+7=31(个)或8×5-9=31(个)。
练习二：3间宿舍，14人。
解析：“空出4个床位”即“少4人”（亏4）。“还有2个空床位”即“少2人”（亏2）。这是“两亏”情况，用（大亏-小亏）÷分配差 = (4-2)÷(8-6)=2÷2=1(间)？结果不对。注意，“空床位”意味着房间没住满，人数比满员时“少”。第一方案：每间6人，空4床 → 人数 = 6×间数 - 4；第二方案：每间8人，空2床 → 人数 = 8×间数 - 2。人数相等，所以6×间数 - 4 = 8×间数 - 2，解得：间数 = -1？逻辑错误。必须用盈亏思想：从第一方案到第二方案（每间多住2人），我们需要把第一方案空着的4个床位都填上，还要额外填上第二方案新产生的2个空床位？不，总人数是固定的。换个角度，为了从每间6人变成每间8人，我们需要额外的人去填满第一方案时空着的4个床位，但这样做之后，第二方案下还会空出2个床位，意味着我们的人手还不够填这2个床位。所以，总人数需要的变化是：填4床 + 欠2床 = 需要增加6人。这是由每间房多住2人实现的。所以房间数 = 6 ÷ 2 = 3（间）。人数 = 6×3 - 4 = 14（人）。
练习三：113件或137件。
解析：这不是标准盈亏，是“余数问题”。设礼品数为N。N除以12余5，除以9余2。在100-150间寻找同时满足两个条件的数。可以列出被12除余5的数：101, 113, 125, 137, 149。再检查除以9余2：101÷9=11...2（符合），113÷9=12...5（不符合），125÷9=13...8，137÷9=15...2（符合），149÷9=16...5。所以答案是101件和137件。（注：原题“每盒装9件剩2件”意味着除以9余2，与“每盒装12件剩5件”找公倍数加余数，更系统的方法是解同余方程，此处用枚举法适合小学生。）
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