一笔画问题秒解：奇点数除以2的图解指南：典型例题精讲
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最近更新
2025-12-21
一笔画问题终极指南：从“不可能”到“秒解”
💡 阿星解密：为什么公式长这样？
想象一下，你是一只小蚂蚁，任务是把图形里的所有“路”一次走完，笔尖不离纸（不重复走已经走过的路）。奇点，就是从这个点出发的“路”有奇数条。为什么奇点这么关键？因为每一次“下笔”和“收笔”的动作，都只能发生在奇点上。一次完整的“一笔画”，最多只能有一个起点和一个终点（可以重合）。所以，如果图形有超过2个奇点，一笔就画不完了，必须分几次画。
👀 看图说话：奇点与偶点
关键点拨：
看上图，A、B、C三个点都有3条线相连（3是奇数），所以它们是奇点。D点有4条线相连（4是偶数），所以它是偶点。那个看不见的“隐形数字”就是“一对奇点”。一次笔画只能解决2个奇点（一个当起点，一个当终点）。所以，如果图上有4个奇点，你就需要两笔画（4÷2=2）。这就是“奇点数 ÷ 2 = 笔画数”这个口诀的由来。如果奇点数是0（全是偶点），那么可以从任意点出发并回到该点，一笔就能画成。
🔥 三级跳挑战：从陷阱到精通
【母题演示】下面的“田”字图形，至少需要几笔画成？
阿星的显微镜
第一步：数每个点连出的线数（交点处算相连）。四个角上的点（红圈）都有2条线（偶点），四条边中间的点（蓝圈）都有3条线（奇点），最中心的点有4条线（偶点）。
标准算式：奇点有4个（上、下、左、右四个边的中点）。根据口诀：4 ÷ 2 = 2（笔）。
【易错陷阱】这个图形呢？（一个“口”字里面加两条对角线）很多人会数错哦！
阿星的避雷针：
大多数人会怎么错：以为只有4个角上的点，每个点有2条线（偶点），中心点有4条线（偶点）。全是偶点，所以错误地认为1笔就能画成。
图解陷阱：仔细看！线的交叉处（中心点）并没有打点？不，在标准一笔画问题中，所有线的端点以及线的交叉点，都是我们要数的“点”。所以这个图有5个点（四个顶点+一个中心交点），都必须考虑进去。
正确思路：重新数每个点的线数。四个角上的点（A,B,C,D）每个都有2条线（偶点）。但中心交点O呢？它有4条线（两条对角线）汇合，所以也是偶点。因此，这个图所有点都是偶点，奇点数为0。确实可以一笔画成！陷阱在于你是否漏数了中心这个关键的交点。
【高手进阶】小区花园的巡逻路线如图，保安叔叔想一次不重复地查完所有小路，最少需要从哪个岗亭出发，走几次？
思维迁移：
1. 识别模型：把岗亭看作“点”，小路看作“线”，问题就转化为判断这个“图”能否一笔画，以及从哪开始。
2. 分析奇点：数每个岗亭连接的小路数。假设A连接3条（奇点），B连接2条（偶点），C连接3条（奇点），D连接4条（偶点）。那么奇点就是A和C。
3. 应用结论：奇点数为2，可以一笔画成。但必须从其中一个奇点（A或C）出发，在另一个奇点（C或A）结束。保安叔叔最少只需要走1次。如果他想从偶点B出发并回到B，那就是不可能完成的任务。
📝 阿星的定海神针（口诀）：
一笔画，看奇点，数数线条是关键。
零或二，一笔连，其他情况除二算。
（解释：奇点数为0或2时，可以一笔画成；奇点数为其他数时，最小笔画数 = 奇点数 ÷ 2）
🚀 举一反三：巩固练习
判断下列哪个图形可以一笔画成？
1) 五角星的一个轮廓
2) 汉字“中”的轮廓
3) 一个简单的三角形。
下图是一个“器”字形的简化图形（四个“口”字并排，中间有竖线相连）。很多人认为它有8个奇点，需要4笔。对吗？为什么？（提示：仔细数中间连接点的线数）
快递员叔叔要在如图的街区派件（每条街都要走到，不重复）。街区图有6个路口（点），其中2个路口连接3条街，4个路口连接4条街。他最少需要设计几条独立的派件路线？
📚 答案与解析
【答案速查】
- 练习一：1) 可以（五角星5个顶点都是2条线，偶点）。2) 不可以（“中”的轮廓有多个4线交点，但边框有4个奇点）。3) 可以（三角形3个顶点都是2条线，偶点）。
- 练习二：不对。四个独立“口”字各有4个奇点，但用竖线连接后，中间连接点处的线数会改变。最终整个图形可能只有4个奇点（位于最左和最右的两侧），因此只需要2笔，不是4笔。易错在于把局部当整体。
- 练习三：连接3条街的路口是奇点，共有2个。根据公式，至少需要 2 ÷ 2 = 1 条路线。他可以从一个“3街口”出发，到另一个“3街口”结束，一次走完所有街。
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