燕尾模型解题秘籍：看图比面积，线段比值轻松求：典型例题精讲
适用年级
几何
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-21
💡 阿星解密：为什么公式长这样？
求两条线段的比值，比如问“BD的长度是DC的几倍？”，直接量长度当然可以，但在复杂的图形里，我们常常量不出来。阿星的万能钥匙是：把“线段比”的问题，转化成“面积比”来计算。
物理隐喻：几何杠杆
想象三角形ABC是一块三角形的薄板。从顶点A向下底边BC“切一刀”（线段AD），把这块板分成了左右两小块（三角形ABD和ADC）。这两小块板的高度是一样的（都是从A点向BC作的垂线）。那么，两块板的“重量”（面积）之比，自然就等于它们“底盘”宽度（BD与DC）之比。我们通过容易计算或已知的“面积比”这个二维关系，就能反推出难求的“线段比”这个一维关系。
👀 看图说话：燕尾模型的“骨架”
关键点拨：
图中，三角形ABD和三角形ADC被同一条红色的虚线AD分割开，它们拥有完全相同的高度（绿色虚线h）。根据三角形面积公式（面积 = 底 × 高 ÷ 2），当高相等时，它们的面积比S₁ : S₂ 就等于它们的底边比 BD : DC。
这就是燕尾模型最核心的关系：“翅膀”面积比 = “尾巴”线段比。我们常常利用其他已知的面积关系（比如等高模型、蝴蝶模型等）先求出S₁和S₂的比，从而得到BD和DC的比。
🔥 三级跳挑战：从陷阱到精通
【母题演示】如图，在三角形ABC中，D是BC边上一点。已知三角形ABD的面积为4平方厘米，三角形ADC的面积为6平方厘米。请问BD与DC的长度比是多少？
阿星的显微镜
三角形ABD和三角形ADC组成了一个典型的“燕尾”（顶点A，分界线AD）。它们共用顶点A到对边BC的高，因此等高。
标准算式：
∵ S△ABD 和 S△ADC 等高，
∴ S△ABD : S△ADC = BD : DC
∴ BD : DC = 4 : 6 = 2 : 3
【易错陷阱】如图，在三角形ABC中，D是BC中点，E是AC上一点，连接AD、BE交于O点。已知三角形ABC面积为30，三角形AOE面积为2，三角形BOD面积为3。求三角形ABO的面积。
（提示：图形中包含了多个燕尾模型，需要正确识别和选用。）
阿星的避雷针：
大多数人会怎么错：看到这么多三角形和面积数据，容易慌乱，试图直接用大面积减小块面积，但发现条件不足，陷入死胡同。
图解陷阱：关键在于没有找到第一个可以建立等量关系的“燕尾”。图形中，以AD为分界线的燕尾（三角形ABD和ADC）虽然等高，但底边BD=DC，所以面积相等，但这对解题帮助不大。真正的突破口是以BE为分界线的燕尾（三角形ABE和CBE），或者利用O点将大三角形分割成的几个小部分之间的关系。
正确思路：
1. 观察燕尾模型（以AD为分界，顶点A，对边BC）。因为D是BC中点，所以BD=DC，故S△ABD = S△ADC = 30÷2=15。
2. 在三角形ABD中，S△ABO + S△BOD = 15。已知S△BOD=3，所以S△ABO=15-3=12。
（或者观察以BE为分界，顶点B，对边AC的燕尾：S△ABE : S△CBE = AE : EC。又因为S△ABE = S△ABO+S△AOE = S△ABO+2， S△CBE = S△BOC+S△COE， 结合其他等高关系亦可解，但上一种方法更直接。）
【高手进阶】社区有一块三角形绿地ABC（如图），园林师想从水源点A铺设一条主水管AD到边BC，将绿地分成左右两块。设计要求左右两块的面积比为3:5，以便种植不同植被。请问，D点应该设在距离B点多远的位置？（已知BC边全长80米）
思维迁移：这完全是一个燕尾模型的现实应用！将绿地抽象成三角形ABC，主水管AD就是那条“分界线”。左右面积比（S△ABD : S△ADC = 3:5）已知，根据燕尾模型核心，这等于底边BD与DC的长度比。所以 BD:DC = 3:5。总长BC=80米，因此BD = 80 × [3/(3+5)] = 30米。园林师只需从B点开始量30米处做标记即可。
📝 阿星的定海神针（口诀）：
燕尾分两翼，面积比底比。
欲求线段长，面积来帮忙。
🚀 举一反三：巩固练习
在三角形PQR中，PS是边QR上的中线。若三角形PQS面积为9平方厘米，则三角形PRS面积是多少？为什么？（直接应用）
在长方形ABCD中，E是AD中点，F是CD上一点，连接BE、BF交AC于G、H两点。已知三角形ABG面积为5，四边形EGFH面积为8，求三角形CFH的面积。（识别复合图形中的燕尾）
爸爸有一块三角形的披萨（顶点A），要切一刀（切到对边BC）分给小明和小红，要求小明分到的部分（三角形ABD）面积是小红（三角形ADC）的1.5倍。已知BC边长36厘米，请问这一刀应该切在离B点多远的位置？（生活应用）
📚 答案与解析
【答案速查】
练习一：9平方厘米。解析：中线平分底边，QS=SR，根据等高（燕尾）模型，面积相等。
练习二：5。解析：在三角形ABC中，以BE为分割线看燕尾，可推得部分面积关系，结合长方形对边平行产生的等高三角形，最终可解。
练习三：离B点21.6厘米处。解析：S△ABD : S△ADC = 3:2 = BD:DC，故 BD = 36 × [3/(3+2)] = 21.6厘米。
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