图解循环小数化分数：三步破解无限循环的密码：典型例题精讲
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五年级
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最近更新
2025-12-20
阿星解密循环小数：把“写不完”的数装进分数口袋
💡 阿星解密：为什么公式长这样？
想象一下，你看到一位运动员在环形跑道上跑步，他总是重复相同的路线，一圈又一圈，永远跑不完。循环小数就像这位运动员！ “无限小数”是他永远跑不完的状态，“循环节”就是他重复跑的那一圈固定路线。我们的目标，是把这位“无限跑步”的运动员，用一个精确的“分数坐标”定位下来。
👀 看图说话：循环的“魔力圈”
关键点拨：
图中，数字“7”和“2”组成的“72”就是循环节，像跑道一样无限循环。我们如何抓住这个无限循环的数呢？秘诀是：利用“错位相减”，让无限的“尾巴”神奇消失！
🔥 三级跳挑战：从陷阱到精通
【母题演示】把纯循环小数 0.727272... (即0.72) 化成分数。
阿星的显微镜
1. 设未知数：设这个数为 A，A = 0.727272...
2. 制造“错位”：看循环节有几位。这里“72”是两位，所以把 A 扩大 100 倍，让小数点后移两位，循环节就对齐了。
100A = 72.727272...
3. 神奇相减：用“大数”减去“小数”：
100A - A = 72.727272... - 0.727272...
看！右边的无限循环部分“0.7272...”被完全减掉了！只剩下整数 72。
标准算式：\[ 100A - A = 72 \implies 99A = 72 \implies A = \frac{72}{99} = \frac{8}{11} \]
【易错陷阱】把混循环小数 0.427272... (即0.427) 化成分数。
阿星的避雷针：
大多数人会怎么错：误当成纯循环小数处理，直接设 A=0.427...，然后乘以 1000 (因为看到“27”循环)，得到 1000A=427.2727...，相减：1000A - A = 427.2727... - 0.42727...，结果右边循环部分对不齐，无法完全消掉！
图解陷阱：这个数的结构是“不循环部分(4)” + “循环节(27)”。不能直接用整个数去乘，必须先分离“不循环”和“循环”两部分。
正确思路：
1. 设 A = 0.42727...
2. 目标是让两个数的小数点后，循环节完全对齐。
3. 先乘 10：10A = 4.272727... （把不循环的“4”推到整数部分）。
4. 再乘 1000：1000A = 427.272727... （把小数点移到第一个循环节之后）。
5. 现在，用“移好位的”大数减小数：1000A - 10A = 427.2727... - 4.2727...
6. 右边完美对齐，循环部分消失：990A = 423 → A = 423/990 = 47/110。
【高手进阶】小雅用计算器计算 1 ÷ 7，发现屏幕显示 0.142857142857...。她想知道，这个循环小数第 50 位上的数字是几？
思维迁移：这需要识别出“周期问题”模型。1÷7 = 0.142857，循环节是“142857”共6位。求第50位的数字，就是看50里面有几个6（周期），余数是几。
50 ÷ 6 = 8(组)...余2。
所以，第50位上的数字，等于循环节“142857”的第2位数字，也就是4。
📝 阿星的定海神针（口诀）：
循环化分数，关键看节位。
纯循环，几位节就除以几个9；
混循环，减掉不除再分9和0。
（解释：“减掉不除”指减去不循环部分形成的整数；“分9和0”指分母：循环节几位写几个9，不循环部分几位就在后面补几个0。）
🚀 举一反三：巩固练习
将纯循环小数 0.363636... 化为分数。
将混循环小数 0.2151515... 化为分数。陷阱提示：注意不循环部分是“21”还是“2”？
已知 1 ÷ 11 = 0.090909...，那么 5 ÷ 11 化成小数是多少？（利用已有结果快速推算）
📚 答案与解析
【答案速查】
练习一：0.36 = 36/99 = 4/11
练习二：0.215 = (215-2)/990 = 213/990 = 71/330 (不循环部分是“21”，所以用0.215... - 0.21 来构造)
练习三：5 ÷ 11 = 5 × (1/11) = 5 × 0.090909... = 0.454545... = 0.45
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