五年级数学期末急救：循环小数的表示易错题合集与避坑指南 | 星火网：典型例题精讲

💡 阿星精讲：循环小数的表示 的核心避坑原理

• 概念重塑：大家好，我是阿星！把循环小数想象成一列永远跑不完的“数字小火车”。比如 \(3.14151415...\)，车厢“1415”在轨道上无限重复地跑。我们要给这一整个循环节（也就是这列车厢）戴帽子（点点儿）做标记。注意！ 帽子只戴在车头和车尾（第一个数字和最后一个数字的头顶上），表示中间的所有车厢都在跟着循环。千万不能给每一节车厢都戴上帽子，那就乱套啦！所以正确的写法是 \(3.\dot{1}41\dot{5}\)。
• 避坑口诀：循环节像列车，车头车尾点点戴，中间车厢别乱盖。

⚠️ 90%的学生都会踩的3大“陷阱”

• ❌ 陷阱一（概念混淆型）：看到小数部分有重复的数字，就以为是循环节，没找到真正的“最小循环节”。例如，看到 \(0.123123...\) 知道循环节是“123”，但看到 \(0.123453453...\)，却误以为循环节是“345”或“2345”。
  → ✅ 正解：必须从“开始重复”的第一个数字找到“不再变化”的重复段。\(0.123453453...\)，从第一个“3”后面的“45”开始重复了吗？不，是“345”在重复！所以真正开始重复的是第一个“3”，循环节是“345”，记作 \(0.12\dot{3}45\dot{3}\)。
• ❌ 陷阱二（视觉误导型）：给循环节里的每一个数字都点上一个点。比如把 \(2.\dot{1}42\dot{8}\) 写成 \(2.\dot{1}\dot{4}\dot{2}\dot{8}\) 或 \(2.\dot{1}4\dot{2}8\)。
  → ✅ 正解：牢记“帽子戴哪里”，只在循环节的首尾两个数字正上方点一个点。一个点代表一个数字，首尾两个点就框定了整个循环的队伍。
• ❌ 陷阱三（计算粗心型）：在做除法找循环节时，没有耐心算到余数重复出现，只看到商里出现两个相同的数字就草率判断循环节。
  → ✅ 正解：判断循环节的金标准是：在竖式计算中，余数重复出现。当同一个余数第二次出现时，其后的商一定会开始循环。必须计算到余数循环，才能确定完整的循环节。

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🚀 易错专项训练（你能全对吗？）

第一关：火眼金睛（判断对错 5题）

1. \(4.\dot{9}\) 和 \(5.0\) 一样大。
2. 循环小数 \(1.2\dot{3}4\dot{5}\) 的循环节是“345”。
3. \(0.123123123\) 是一个循环小数。
4. 在 \(0.5666...\) 中，循环节是“6”，这个小数可以记作 \(0.5\dot{6}\)。
5. \(7 \div 11\) 的商写成循环小数是 \(0.\dot{6}\dot{3}\)。

第二关：防坑演练（填空 5题）

1. 把 \(0.4232323...\) 用简便方法记作 \( \underline{\qquad} \) 。
2. 把 \(0.0\dot{8}0\dot{2}\) 这个循环小数还原，它应该是 \(0.080802080802...\) 吗？ \( \underline{\qquad} \) (填“是”或“不是”)。
3. 在 \(5.1\dot{7}\)、 \(5.177\)、 \(5.1\dot{7}\dot{7}\)、 \(5.1777\) 这四个数中，最大的数是 \( \underline{\qquad} \)。
4. 计算： \(0.\dot{1} + 0.\dot{2} = \underline{\qquad}\) 。（结果用循环小数表示）
5. 一个循环小数 \(2.3\dot{5}6\dot{8}\)，小数点后第50位上的数字是 \( \underline{\qquad} \)。

答案与详细解析

第一关：火眼金睛

1. ✅ 对。 \(4.\dot{9} = 4.999...\)，根据极限思想，它与 \(5.0\) 相等。这是一个有趣的数学结论。
2. ❌ 错。 循环节是首尾点之间的所有数字。\(1.2\dot{3}4\dot{5}\) 表示循环节是从“3”到“5”，即“345”。等等，仔细看！点是点在“3”和“5”上，所以循环节是“345”？不，是“34”？这里有个大坑！记作 \(a.b\dot{c}d\dot{e}\) 时，循环节是 \(cde\) 吗？不对！点的作用是标记循环节的起始和结束。\(1.2\dot{3}4\dot{5}\) 表示循环节是“34”！因为“3”是循环起点，“5”是循环终点，中间的数字“4”自然包含在内。所以循环节是“34”，不是“345”。原说法错误。
3. ❌ 错。 题目写的是 \(0.123123123\)，这是一个有限小数（只有9位小数）。循环小数必须是无限的。应该说 \(0.123123123...\) 才是循环小数。
4. ✅ 对。 \(0.5666...\) 是从百分位开始“6”在无限循环，所以循环节是“6”，记作 \(0.5\dot{6}\)。
5. ❌ 错。 \(7 \div 11 = 0.636363...\)，循环节是“63”，应记作 \(0.\dot{6}3\dot{3}\)。\(0.\dot{6}\dot{3}\) 是错误的写法，它容易让人误解“6”和“3”各自独立循环。

第二关：防坑演练

1. \(0.4\dot{2}3\dot{3}\) 或 \(0.42\dot{3}\)。 解析：小数 \(0.4232323...\)，不循环部分是“4”，循环部分从第一个“2”后面的“3”开始，是“23”在循环。因此可以在“2”和最后一个“3”上点点，记作 \(0.4\dot{2}3\dot{3}\)。更常见的简便记法是只标出循环节，记作 \(0.42\dot{3}\)。
2. 不是。 解析：\(0.0\dot{8}0\dot{2}\) 表示循环节是“802”（从第一个点“8”到第二个点“2”之间的所有数字，包括中间的“0”）。所以这个小数是 \(0.0802802802...\)，而不是 \(0.080802080802...\)。
3. \(5.1\dot{7}\dot{7}\)。 解析：比较大小先对齐数位：
   \(5.1\dot{7} = 5.17777...\)
   \(5.177 = 5.177\)
   \(5.1\dot{7}\dot{7} = 5.177777...\) (循环节77)
   \(5.1777 = 5.1777\)
   比较到万分位：\(5.1777... > 5.1777 > 5.1777 (5.177) > 5.1777... (5.1\dot{7})\)？这里需要精确：\(5.1\dot{7}\dot{7}\)万分位是7，\(5.1777\)万分位是7，但\(5.1\dot{7}\dot{7}\)有无限个7，所以它更大。实际上，\(5.1\dot{7}\dot{7} > 5.1777 > 5.1\dot{7} > 5.177\)。
4. \(0.\dot{3}\)。 解析：\(0.\dot{1} = 0.111...\)，\(0.\dot{2} = 0.222...\)，相加得 \(0.333... = 0.\dot{3}\)。
5. 6。 解析：循环小数 \(2.3\dot{5}6\dot{8}\)，循环节是“568”（注意点是从5到8，所以是568三位）。小数点后不循环的数字有两位“3”和“5”？不对！再看：\(2.3\dot{5}6\dot{8}\)，小数部分是“3”然后紧接着就是带点的“5”，所以“3”是不循环部分吗？不，循环节是“568”，那么“3”是循环节前的数字。所以小数部分结构是：1位不循环数字（3）+ 循环节“568”。
   求第50位：先去掉不循环的1位，剩下 \(50-1=49\) 位在循环部分。
   \(49 \div 3 = 16 \text{组}...1 \text{位}\)
   余数是1，对应循环节“568”的第1位数字，即“5”。等等，再检查！循环节是“568”三位。第49位（即循环部分的第49位）是“5”。所以小数点后第50位数字是5。我最初答案写错了，应为5。