阿星的显微镜

标准算式：设人速为 \(v_人\)，梯速为 \(v_梯\)，总级数为 \(s\)。

顺行：速度 = \(v_人 + v_梯\)，路程 \(s = (v_人 + v_梯) \times 2\)

逆行：速度 = \(v_人 - v_梯\)，路程 \(s = (v_人 - v_梯) \times 6\)

因为走过的总台阶数 \(s\) 相同，所以：

\((v_人 + v_梯) \times 2 = (v_人 - v_梯) \times 6\)

解得：\(v_人 = 2 v_梯\)

代入顺行公式：\(s = (2v_梯 + v_梯) \times 2 = 3v_梯 \times 2 = 6 v_梯\)

这就是总级数和梯速的关系。如果我们知道梯速，就能求s。或者，我们可以直接用“路程相等”列式求解。更简单的方法：

设方程：设扶梯每秒自动运行 \(x\) 级。

则人每秒走 \((15 \div 2 - x)\) 级 或 \((15 \div 6 + x)\) 级（因为逆行慢，要加上梯速才是人速）。

所以：\(7.5 - x = 2.5 + x\)

解得：\(x = 2.5\)

总级数 \(s = (7.5 + 2.5) \times 2 = 10 \times 2 = 20\)（级）。（验证：(7.5 - 2.5)×6=5×6=30？不对！）等一下，我算错了。重新来：

人速 \(v_人 = 7.5 - 2.5 = 5\) 级/秒。

总级数 \(s = (人速 + 梯速) × 顺行时间 = (5 + 2.5) × 2 = 7.5 × 2 = 15\)？题目说顺行走完15级，所以总级数就是15级？不，这里理解有陷阱。“走完”是指从一端到另一端，走过的总台阶数（包括脚下原有的和扶梯新送出来的）是15级吗？仔细读题：“2秒走完15级台阶”——这“15级”通常就是指静止时看到的扶梯总级数s！所以母题中，s=15就是已知条件。我们求的应该是人速和梯速。我们用这个简单数据来理解关系。

修正：已知 s = 15级。

顺行：\(v_人 + v_梯 = 15 \div 2 = 7.5\) (级/秒)

逆行：\(v_人 - v_梯 = 15 \div 6 = 2.5\) (级/秒)

两式相加：\(2 v_人 = 10\) → \(v_人 = 5\) (级/秒)

代入得：\(v_梯 = 7.5 - 5 = 2.5\) (级/秒)

看，我们解出了人速和梯速。这个简单的例子让你看清了模型。

阿星的避雷针：

大多数人会怎么错：看到“从上往下走”，误以为速度是 \(2 - v_梯\)，然后列式：\((2 + v_梯) \times 40 = (2 - v_梯) \times 80\)。

图解陷阱：注意！当阿星从上往下逆行时，扶梯依然是上行的！此时人和梯的运动方向完全相反。所以他的有效速度是人速(向下)减去梯速(向上)吗？不！方向相反时，速度的绝对值是相加的，但因为是反方向运动，所以他从顶部走到底部所花费的时间更长。他的实际有效速度应该是人速减去梯速，但结果是负数吗？不，我们考虑的是速度的大小（速率）和效果。

正确思路：设扶梯每秒上行 \(x\) 级。

顺行（同向）：总速度 = \(2 + x\)，时间40秒，路程 \(s = (2+x) \times 40\)。

逆行（反向）：此时人向下走2级/秒，扶梯向上送x级/秒。人相对于地面的实际下行速度是 \(2 - x\) 吗？如果人速比梯速快，他才能下行，速度是 \(2 - x\)；但如果梯速比人速快，他会被送上去，根本下不来。题目说他80秒能下来，说明人速(2) > 梯速(x)，所以他实际的下行速度是 \((2 - x)\) 级/秒。时间80秒，路程 \(s = (2-x) \times 80\)。

因为扶梯总级数 \(s\) 不变，所以：
\[ (2 + x) \times 40 = (2 - x) \times 80 \]

解得：\(80 + 40x = 160 - 80x\) → \(120x = 80\) → \(x = \frac{2}{3}\) (级/秒)。

总级数 \(s = (2 + \frac{2}{3}) \times 40 = \frac{8}{3} \times 40 = \frac{320}{3} \approx 106.7\) 级？这显然不合理，扶梯级数应该是整数。检查计算：\(2+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}\)，乘以40是 \(\frac{320}{3}\)。可能题目数据是设计好的，我们按此理解。关键在于逆行时速度是“人速 - 梯速”，但方向相反，所以这个差是正数，表示人能下去。

思维迁移：这本质上还是“扶梯问题”！把“垂直扶梯”变成“水平传送带”，模型一模一样。

识别核心：“站在传送带上不动”所需的时间，就是只有传送带速度 \(v_带\) 走完全程 \(s\) 的时间：\(s = v_带 \times 60\)。

“在传送带上走”就是顺行，总速度 = \(v_人 + v_带\)，时间24秒：\(s = (v_人 + v_带) \times 24\)。

传送带停运，就是只有人速 \(v_人\) 走全程 \(s\)，求时间 \(t\)：\(s = v_人 \times t\)。

我们已经有 \(s = 60 v_带\) 和 \(s = 24(v_人 + v_带)\)，所以 \(60 v_带 = 24 v_人 + 24 v_带\) → \(36 v_带 = 24 v_人\) → \(v_人 = 1.5 v_带\)。

代入 \(s = 60 v_带\)，则 \(t = s / v_人 = 60 v_带 / (1.5 v_带) = 40\) (秒)。

看，只要抓住“总路程s不变”以及“速度的合成与分解”，无论扶梯是斜的还是平的，问题都能迎刃而解。