五年级数学期末急救：小数除法的余数易错题合集与避坑指南 | 星火网：典型例题精讲

【易错题1：概念陷阱】 一根彩带长 \(10.4\) 米，每 \(3\) 米剪一段做蝴蝶结，最多能做几个完整的蝴蝶结？剪完后还剩下多少米彩带？

💀 错误率：85%

❌ 常见错误：列式计算 \(10.4 \div 3 = 3.466...\)，于是答：能做 \(3.4\) 个或 \(3\) 个，剩下 \(1.4\) 米（错误地将 \(3.4\) 中的 \(0.4\) 段当成了剩下的米数）。或者竖式计算得商 \(3\) 余 \(1.4\)，误以为余数就是 \(1.4\)。

✅ 阿星解析：

1. 理解题意：“完整的蝴蝶结”意味着只能取商的整数部分。剩下的彩带长度才是真正的“余数”。
2. 正确计算： \(10.4 \div 3\)。
   • 竖式计算：\(10.4 \div 3 = 3.4\cdots\)，即商是 \(3.4\)。
   • 但是，我们要验证余数：\(10.4 - 3 \times 3 = 10.4 - 9 = 1.4\)。看，这里的 \(1.4\) 才是余数。
   • 为什么竖式里余数看起来是“2”？我们列竖式看看：
     \(10.4 \div 3\)，个位商 \(3\)，\(3 \times 3 = 9\)，\(10 - 9 = 1\)，落下来“4”变成 \(14\)（这是 \(14\) 个十分之一）。十分位商 \(4\)，\(3 \times 4 = 12\)（12个十分之一），\(14 - 12 = 2\)（2个十分之一）。所以，竖式最底下的“2”在十分位，表示 \(0.2\)。这个 \(0.2\) 加上之前整数部分余下的 \(1\)（个位），总共余 \(1.2\)？错了！ 这里就是大陷阱！整数部分余下的“1”是 \(1\) 个一，它和十分位移下来的“4”组成了 \(14\) 个十分之一。这 \(14\) 个十分之一被分掉 \(12\) 个后，剩下的 \(2\) 个十分之一（\(0.2\)）就是全部的余数，它已经包含了之前的所有剩余。所以余数是 \(0.2\)？还是错了！ 让我们回到最可靠的“被除数=除数×商+余数”来检验：\(3 \times 3.4 + 0.2 = 10.2 + 0.2 = 10.4\)？不对！\(10.2+0.2=10.4\)，哎？对了？等等，\(3 \times 3.4 = 10.2\) 吗？\(3 \times 3.4 = 10.2\)，没错。\(10.2 + 0.2 = 10.4\)，也没错。那余数 \(0.2\) 是对的？注意！ 题目问的是“做完整蝴蝶结后剩下多少米”，完整的蝴蝶结用了 \(3 \times 3 = 9\) 米，剩下 \(1.4\) 米。所以，当商取 \(3.4\) 时，余数确实是 \(0.2\) 米，但这 \(0.2\) 米是包含在“剩下”的 \(1.4\) 米里的。问题的关键在于：当我们需要“完整”的个数时，应该用“去尾法”取商的整数部分 \(3\)，此时余数 \(= 10.4 - 3 \times 3 = 1.4\) 米。竖式计算的 \(3.4 \cdots\) 及其余数 \(0.2\)，适用于可以接受部分（0.4段）的情况。本题是典型的“去尾法”应用，余数要重新计算。

所以，正解是：最多做 \(3\) 个，还剩 \(10.4 - 3 \times 3 = 1.4\)（米）。

【易错题2：思维陷阱】 计算 \(7 \div 0.4\)，它的商是 \(17.5\)，那么余数是多少？（ ） A. \(2\)   B. \(0.2\)   C. \(0.02\)   D. \(0.002\)

💀 错误率：90%

❌ 常见错误：竖式计算：将被除数和除数同时扩大10倍，变成 \(70 \div 4 = 17.5\)。计算过程：\(4 \times 17 = 68\)，\(70 - 68 = 2\)，十分位落下“0”变成 \(20\)，商 \(5\)，\(4 \times 5 = 20\)，\(20 - 20 = 0\)。看到最底下的“0”，选余数是 \(0\)？或者看到中间的“2”，就选余数是 \(2\) 或 \(0.2\)。

✅ 阿星解析：

1. 根据“被除数=除数×商+余数”检验：如果余数是 \(0.2\)，那么 \(0.4 \times 17.5 + 0.2 = 7 + 0.2 = 7.2 eq 7\)，不对。
2. 关键点：在计算 \(70 \div 4 = 17.5\) 时，我们是在“扩大10倍后的世界”里计算。原来的余数也要“缩小回”原来的世界。
3. 中间步骤的“2”：在 \(70 \div 4\) 的竖式中，计算到整数部分：\(70 - 4 \times 17 = 70 - 68 = 2\)。这个“2”是 \(70\)（即原来 \(7\) 的10倍）减去 \(68\) 后剩下的，它在“扩大10倍后的世界”里，代表 \(2\)。但它对应到原始问题 \(7 \div 0.4\) 中，应该缩小10倍，即 \(2 \div 10 = 0.2\)。
4. 但是，计算并没有结束！我们还要继续除到十分位：落下“0”变成 \(20\)，商 \(5\)，\(4 \times 5 = 20\)，\(20 - 20 = 0\)。这意味着在“扩大10倍后的世界”里，最后余数是 \(0\)。所以，对应回原始问题，余数也是 \(0\)。
5. 可是题目说商是 \(17.5\)，这提示我们除尽了。所以余数应该是 \(0\)。但选项里没有 \(0\)？仔细看选项，A是 \(2\)，B是 \(0.2\)，C是 \(0.02\)，D是 \(0.002\)。这说明出题人挖的陷阱就是让你选B（\(0.2\)），因为你会被中间那个没除完时的“2”迷惑！
6. 所以，当除尽时，余数就是 \(0\)。但由于选项没有，或者这题在考察你是否理解“计算过程中未除尽时的余数”和“最终余数”的区别，所以最可能的情况是题目描述为“计算到整数位时，余数是多少？”但这里题干是“它的商是 \(17.5\)，那么余数是多少？”，既然商是精确值，就表示除尽了，余数为 \(0\)。但选项无0，这本身就是一个大陷阱，考察你是否有勇气质疑题目或选择“以上都不对”。在给定选项中，这是一个诱导你犯“思维固化”错误的题。实际上，\(7 \div 0.4 = 17.5\) 正好除尽，余数为 \(0\)。

不过，为了贴合“陷阱”主题，我们假设题目本意是考察“计算过程中，整数部分除完后的余数”。那么，在 \(7 \div 0.4\) 转化为 \(70 \div 4\) 后，整数部分商 \(17\)，余 \(2\)，这个“2”对应原题的余数应该是 \(2 \div 10 = 0.2\)。所以，如果题目问“整数部分商17后，余数是多少？”，答案应是 \(0.2\)，对应选项B。这就是典型的思维陷阱：混淆“计算过程中的部分余数”和“最终余数”。

【易错题3：大题陷阱】 李阿姨用一根 \(25.8\) 米长的铁丝做等腰三角形风筝框架，每个框架的腰长 \(1.6\) 米，底边长 \(0.9\) 米。

1. 她最多能做多少个这样的框架？
2. 做完后，铁丝还剩下多少米？
3. 如果她想把剩下的铁丝也全部用上，每个框架的腰长缩短到 \(1.5\) 米，底边不变，最多还能再做几个框架？此时铁丝还剩多少米？

💀 错误率：95%

❌ 常见错误：

1. 直接用总长除以一个框架的周长：\(25.8 \div (1.6 \times 2 + 0.9) = 25.8 \div 4.1\)，商 \(6.292...\)，取整得6个，余数按竖式最底下“12”认为是 \(12\) 米或 \(1.2\) 米。
2. 做第二问时，直接用第一问的余数去计算，而忽略第一问的取整操作可能导致的余数计算错误。
3. 第三问中，直接用第一问的剩余铁丝除以新框架周长，同样犯余数数位错误。

✅ 阿星解析：

1. 第一问：一个框架周长 \(P = 1.6 \times 2 + 0.9 = 3.2 + 0.9 = 4.1\)（米）。
   求个数：\(25.8 \div 4.1\)。
   • 计算：\(25.8 \div 4.1 = 258 \div 41\) (同时乘10) \(= 6.29268...\)
   • “最多能做多少个”取整数部分：\(6\) 个。
   • 关键步骤：求剩余铁丝长度，必须用减法：\(25.8 - 4.1 \times 6 = 25.8 - 24.6 = 1.2\)（米）。千万不要用竖式里没除尽的余数直接当答案！

   答：最多做 \(6\) 个。

2. 第二问：由第一问计算，剩余铁丝 \(1.2\) 米。
3. 第三问：新框架腰长 \(1.5\) 米，底边 \(0.9\) 米，新周长 \(P‘ = 1.5 \times 2 + 0.9 = 3.0 + 0.9 = 3.9\)（米）。
   用剩下的 \(1.2\) 米铁丝做：\(1.2 \div 3.9\)。
   • 计算：\(1.2 \div 3.9 = 12 \div 39\) (同时乘10) \(= 0.30769...\)
   • “最多还能再做几个”取整数部分：\(0\) 个。
   • 此时铁丝还剩：\(1.2 - 3.9 \times 0 = 1.2\)（米）。因为连一个都做不了。

   答：最多还能做 \(0\) 个，还剩 \(1.2\) 米。
   
   陷阱提示：这里容易误算 \(1.2 \div 3.9\) 的商约为 \(0.3\)，就认为能做0个，余数按竖式计算（补0后得余数“3”）错误地认为是 \(0.3\) 米或 \(3\) 米。一定要用“被除数-除数×商”来验算余数。