初一数学期末急救：线段的中点（多解问题）易错题合集与避坑指南 | 星火网：典型例题精讲

💡 阿星精讲：线段的中点（多解问题） 的核心避坑原理

• 概念重塑：很多同学一看题目说“点C是线段AB的中点”，脑海里马上就画出一个点C在A和B正中间的画面。这就像“不看地图就出发”——题目没给图，你凭什么默认C一定在A和B之间？阿星提醒你：“线段AB”指的是两个端点A、B和它们之间所有的点，但“点C在线段AB上”和“点C是线段AB的中点”是两个完全不同的说法！中点C必须在线段AB“上”。但如果题目只说“AB的长度”，然后问“已知AC和BC的关系，求...”，这时C的位置就可能像幽灵一样，可能在线段上，也可能在线段的延长线上！
• 避坑口诀：阿星送你八字真言：“无图无真相，分类讨论上！” 遇到没图的线段题，先问自己：这个关键点，是在线段上，还是线段外？两种情形，一网打尽！

⚠️ 90%的学生都会踩的3大“陷阱”

• ❌ 陷阱一（概念混淆型）：看到“AC + BC = AB”，就断定点C一定在线段AB上。→ ✅ 正解：这个等式成立时，C一定在线段AB上。但如果题目给的是“AC - BC = AB”或“BC - AC = AB”，那C就在线段AB的延长线上！
• ❌ 陷阱二（视觉误导型）：题目只给一句话，如“点C在直线AB上，且AC=2BC”，学生不自觉在草稿纸上把C画在A、B之间，导致漏解。→ ✅ 正解：在直线上，点C相对于A、B的位置有三种可能：1. 在线段AB上；2. 在线段AB的延长线上（A侧）；3. 在线段BA的延长线上（B侧）。必须根据条件逐一分析。
• ❌ 计算粗心型：设未知数\(x\)表示线段长时，没有明确\(x\)代表的是哪一段，或者没有考虑线段长度不能为负数，导致方程解出负数也不加检验。→ ✅ 正解：清晰设元（如设AB=x），画示意图帮助理解等量关系，解出方程后务必代入原题验证结果的合理性（长度>0）。

🔥 经典易错题精讲（附 SVG 图解）

🚀 易错专项训练（你能全对吗？）

第一关：火眼金睛（判断对错 5题）

1. 已知线段 \(AB=8\text{cm}\)，若点 \(C\) 满足 \(AC=3\text{cm}, BC=5\text{cm}\)，则点 \(C\) 一定在线段 \(AB\) 上。（ ）
2. 若点 \(M\) 是线段 \(AB\) 的中点，则一定有 \(AM=MB=\frac{1}{2}AB\)。（ ）
3. 题目“点 \(C\) 在射线 \(AB\) 上”不需要进行分类讨论。（ ）
4. 在直线 \(l\) 上有 \(A\)、\(B\)、\(C\) 三点，若 \(AB=10\), \(AC=4\)，则 \(BC\) 的长度只能是 \(6\)。（ ）
5. 如果点 \(P\) 在线段 \(AB\) 的延长线上，那么 \(AP > AB\)。（ ）

第二关：防坑演练（填空 5题）

1. 已知线段 \(AB=12\)，点 \(C\) 在直线 \(AB\) 上，且 \(AC : BC = 3 : 1\)，则 \(AC =\) ______ 。
2. 点 \(A\)、\(B\)、\(C\) 在同一条直线上，\(AB=15\)， \(BC=\frac{1}{3}AB\)，若点 \(D\) 是线段 \(AC\) 的中点，则 \(BD=\) ______ 。
3. 在数轴上，点 \(A\) 表示 \(-2\)，点 \(B\) 表示 \(6\)，点 \(P\) 以每秒1个单位从 \(A\) 向右运动，点 \(Q\) 以每秒2个单位从 \(B\) 向左运动。当 \(PQ\) 的中点在原点时，运动时间 \(t=\) ______ 秒。
4. 已知线段 \(MN=20\text{cm}\)，点 \(P\) 是直线 \(MN\) 上一点，且满足 \(MP : PN = 3 : 2\)，则 \(MP=\) ______ cm。
5. \(A\)、\(B\)、\(C\) 三点共线，线段 \(AB=10\)，且 \(AC - BC = 2\)，则线段 \(AC=\) ______ 。

答案与详细解析

第一关：火眼金睛

1. ✅。 因为 \(AC+BC=3+5=8=AB\)，满足“两点之间，线段最短”的逆用，所以C在线段AB上。
2. ✅。 这是线段中点的定义。
3. ❌。 “射线AB”是以A为端点，向B方向无限延伸。点C可能在起点A，在线段AB上，或在AB的延长线上（B点之外），但不会在BA的延长线上（A点另一侧）。虽然讨论情形比“直线”上少，但依然可能有多解。
4. ❌。 点C可能在线段AB上，此时 \(BC=AB-AC=6\)；点C也可能在线段AB的延长线上（A点左侧），此时 \(BC=AB+AC=14\)。
5. ✅。 延长线上意味着P在B点之外，所以AP包含整个AB加上BP，必然大于AB。

第二关：防坑演练

1. 9或18。设 \(AC=3k, BC=k\)。
   
   情形一：C在线段AB上，\(3k+k=12\)， \(k=3\)， \(AC=9\)。
   
   情形二：C在线段AB延长线上， \(3k - k=12\)， \(k=6\)， \(AC=18\)。
   （C在BA延长线上不满足3:1的比例）
2. 5或10。 \(BC=\frac{1}{3} \times 15 = 5\)。
   
   情形一：C在线段AB上， \(AC=AB-BC=10\)， D为AC中点则 \(AD=5\)， \(BD=AB-AD=15-5=10\)。
   
   情形二：C在线段AB延长线上， \(AC=AB+BC=20\)， D为AC中点则 \(AD=10\)， \(BD=AD-AB=10-15=-5\)？画图！此时 \(BD = AB - AD = 15-10=5\)。
3. 2。运动后，\(P_t = -2 + t\)， \(Q_t = 6 - 2t\)。PQ中点坐标为 \(\frac{P_t + Q_t}{2} = \frac{(-2+t)+(6-2t)}{2} = \frac{4 - t}{2}\)。
   
   令其为 \(0\)： \(\frac{4-t}{2} = 0\)，解得 \(t=4\)。等等，要验证！当 \(t=4\)时，\(P_t=2, Q_t=-2\)，中点确实在原点。噢，是 \(t=4\)。上一行计算正确，但答案写错了，应修正为4。阿星提醒：计算要仔细！
4. 12或60。设 \(MP=3k, PN=2k\)。
   
   情形一：P在线段MN上， \(3k+2k=20\), \(k=4\), \(MP=12\)。
   
   情形二：P在线段MN的延长线上（N点外）， \(3k - 2k=20\), \(k=20\), \(MP=60\)。
   （P在M点左侧不满足MP:PN=3:2）
5. 6。由 \(AC-BC=2\) 且 \(AB=10\)，可知点C不在线段AB上（否则AC-BC的绝对值小于10）。设 \(AC=x\), 则 \(BC=x-2\)。
   
   情形一：C在AB延长线上（B点外），有 \(x - (x-2) = 2\) 恒成立，但 \(AB=AC-BC?\) 不对，此时 \(AB=AC-BC=x-(x-2)=2\)，与 \(AB=10\)矛盾，舍去。
   
   情形二：C在BA延长线上（A点外），此时B在A、C之间，有 \(AB = BC - AC = (x-2) - x = -2\)？长度为正，应写为 \(AB = AC - BC\)？不，此时 \(AC\) 最小。正确关系：点A在B、C之间， \(AB = AC + BC\)？画图！此时C---A---B，所以 \(CA + AB = CB\)，即 \(AC + 10 = BC\)。又已知 \(AC - BC = 2\)。
   
   联立方程：设 \(AC=x, BC=y\)。
   \(\begin{cases} x - y = 2 \\ x + 10 = y \end{cases}\)
   
   将下式代入上式：\(x - (x+10) = 2\) 得 \(-10=2\)，矛盾。
   
   阿星提示：直接推理更快。由 \(AC-BC=2>0\) 知 \(AC>BC\)，所以C点离A更远。结合 \(AB=10\)，只可能C、A、B依次排列（C在A左侧），此时 \(BC = AC + AB = AC + 10\)。代入 \(AC - BC = 2\) 得 \(AC - (AC+10) = 2\)，即 \(-10=2\)，无解。
   
   等等，再审视！已知 \(AC-BC=2\), \(AB=10\)。若C在线段AB上，则 \(AC+BC=10\)，两式相加得 \(2AC=12\), \(AC=6\), 同时 \(BC=4\), 差值为2，成立！原来点C可以在线段AB上！一开始错误地认为“AC-BC=2”意味着C不在AB上，这是思维定式。当C在线段AB上且靠近B点时，AC确实大于BC。所以：
   
   情形一：C在线段AB上，则 \(AC+BC=10\), \(AC-BC=2\)，解得 \(AC=6\), \(BC=4\)。
   
   情形二：C在AB延长线上（B点外），则 \(AC-AB=BC\)，即 \(AC-10=BC\)，与 \(AC-BC=2\) 联立得 \(AC-(AC-10)=2\) => \(10=2\)，矛盾。
   
   情形三：C在BA延长线上（A点外），则 \(AB+AC=BC\)，即 \(10+AC=BC\)，与 \(AC-BC=2\) 联立得 \(AC-(10+AC)=2\) => \(-10=2\)，矛盾。
   
   因此，只有一种解 \(AC=6\)。本题是“思维定式”陷阱！答案应为6。