阿星拆解：

第一步：列出交换后的效用函数。
厨师给出 \( x \) 面粉，得到 \( 2\sqrt{x} \) 黄油。交换后：
面粉：\( a - x \)， 黄油：\( 2\sqrt{x} \)
∴ 厨师效用：\( U_1'(x) = (a - x) + 2\sqrt{2\sqrt{x}} \)？ 不对！仔细看，他的效用是 \( U_1 = \text{面粉} + 2\sqrt{\text{黄油}} \)，所以是 \( U_1'(x) = (a - x) + 2\sqrt{2\sqrt{x}} \) 吗？注意！ 他得到的黄油量就是 \( 2\sqrt{x} \) 公斤，所以：
\( U_1'(x) = (a - x) + 2\sqrt{2\sqrt{x}} \) 依然不对。应为 \( U_1'(x) = (a-x) + 2\sqrt{\text{黄油量}} = (a-x) + 2\sqrt{2\sqrt{x}} \)。 但题目中面包师给出的黄油是 \( 2\sqrt{x} \)，这是一个数值，所以直接代入：
\( U_1'(x) = (a - x) + 2\sqrt{2\sqrt{x}} \) 的书写不标准，应写成 \( U_1'(x) = (a-x) + 2\sqrt{2\sqrt{x}} \)。但更清晰地，令得到的黄油量 \( T = 2\sqrt{x} \)，则 \( U_1'(x) = (a-x) + 2\sqrt{T} = (a-x) + 2\sqrt{2\sqrt{x}} \)。这个式子看起来复杂，我们可以先保留参数形式。

重新审视：厨师效用：\( U_1 = F + 2\sqrt{B} \)，其中 \( F \) 是面粉，\( B \) 是黄油。
交换后，厨师的 \( F = a - x \)， \( B = 2\sqrt{x} \)。
因此，\( U_1'(x) = (a - x) + 2\sqrt{2\sqrt{x}} \)。

面包师给出 \( 2\sqrt{x} \) 黄油，得到 \( x \) 面粉。交换后：
黄油：\( b - 2\sqrt{x} \)， 面粉：\( x \)
面包师效用：\( U_2 = B + \sqrt{F} \)，所以：
\( U_2'(x) = (b - 2\sqrt{x}) + \sqrt{x} \)

第二步：建立帕累托改进的不等式条件。
交换前，厨师的效用 \( U_1^0 = a + 2\sqrt{0} = a \)。
面包师的效用 \( U_2^0 = b + \sqrt{0} = b \)。
帕累托改进要求：
1. \( U_1'(x) \geq U_1^0 = a \) (厨师不亏)
2. \( U_2'(x) \geq U_2^0 = b \) (面包师不亏)
且至少一个不等式取 “>”。

代入：
条件1：\( (a - x) + 2\sqrt{2\sqrt{x}} \geq a \) ⇒ \( -x + 2\sqrt{2\sqrt{x}} \geq 0 \) ⇒ \( 2\sqrt{2\sqrt{x}} \geq x \)。
条件2：\( (b - 2\sqrt{x}) + \sqrt{x} \geq b \) ⇒ \( -2\sqrt{x} + \sqrt{x} \geq 0 \) ⇒ \( -\sqrt{x} \geq 0 \) ⇒ \( \sqrt{x} \leq 0 \) ⇒ \( x = 0 \)。

等等，这推出只有不交换（\( x=0 \)）时，面包师才不亏？这显然不符合“改进”的初衷。问题出在哪里？

啊哈！发现关键！ 我们错误地假设了交换前面包师的面粉量为0。但题目只说他们“拥有”这些，没说不可以已有库存。交换是基于他们现有的总量进行的。所以交换前的效用计算是正确的：\( U_2^0 = b + \sqrt{0} = b \)。那么条件2化简后确实是 \( -\sqrt{x} \geq 0 \)，这迫使 \( x=0 \)。这意味着，在这个设定的交换规则下，只要交换（\( x>0 \)），面包师的效用就会降低，这无法构成帕累托改进。

因此，原题需要修正交换规则，以实现共赢可能。 这才是探索“解空间”的精髓！让我们修正：假设交换比例为 \( k \)，厨师用 \( x \) 公斤面粉交换面包师的 \( k\sqrt{x} \) 公斤黄油。

修正后步骤：
厨师效用变化：\( \Delta U_1 = [ (a-x) + 2\sqrt{k\sqrt{x}} ] - a = -x + 2\sqrt{k} \cdot x^{1/4} \geq 0 \)
面包师效用变化：\( \Delta U_2 = [ (b - k\sqrt{x}) + \sqrt{x} ] - b = -k\sqrt{x} + \sqrt{x} = (1-k)\sqrt{x} \geq 0 \)
要存在 \( x > 0 \) 使两者同时 ≥ 0，且至少一个 > 0。
由 \( \Delta U_2 \geq 0 \) 得：\( (1-k)\sqrt{x} \geq 0 \)。对于 \( x>0 \)，需 \( 1-k \geq 0 \) 即 \( k \leq 1 \)。
由 \( \Delta U_1 \geq 0 \) 得：\( 2\sqrt{k} \cdot x^{1/4} \geq x \)。令 \( t = x^{1/4} > 0 \)，则不等式为 \( 2\sqrt{k} t \geq t^4 \) ⇒ \( t^3 \leq 2\sqrt{k} \) ⇒ \( t \leq (2\sqrt{k})^{1/3} \) ⇒ \( x \leq (2\sqrt{k})^{4/3} \)。
当 \( k=1 \) 时，\( \Delta U_2 \equiv 0 \)，面包师不亏不赚；\( x \) 需满足 \( x \leq (2)^{4/3} = 2^{4/3} \)。此时只要 \( 0 < x \leq 2^{4/3} \)，厨师效用增加 (\( \Delta U_1 > 0 \))，构成帕累托改进。
当 \( k < 1 \) 时，\( \Delta U_2 > 0 \)，面包师也受益。\( x \) 需同时满足 \( x \leq (2\sqrt{k})^{4/3} \) 且 \( x>0 \)。

第三步：得出结论。
共赢（帕累托改进）的数学本质，就是找到一组参数（\( k, x \)），使得由不等式方程组定义的解空间非空。在本例中，当交换比例 \( k \leq 1 \) 时，总存在一个正的交换量 \( x \) 的范围，使得双方效用都不降低，并至少一方提高。

口诀：
效用函数列两边，交换变量设中间。
改进并非单点解，共贏区间藏里面。
你增我增不等式，联立求解天地宽。