阿星的显微镜

标准算式：设这个数为 \( n \)。根据题意：
\[ \begin{cases} n + 100 = a^2 \\ n + 168 = b^2 \end{cases} \]
两式相减，得到平方差：
\[ b^2 - a^2 = 68 \quad \Rightarrow \quad (b-a)(b+a) = 68 \]
\( b \) 和 \( a \) 都是正整数，且 \( b > a \)。我们将68分解成两个正整数的乘积，同时注意 (b-a) 和 (b+a) 必须同奇偶（因为两数相加或相减，奇偶性相同），且(b+a) > (b-a)。

68的因数对有：(1,68), (2,34), (4,17)。

• (1,68) 同奇偶？1是奇，68是偶，不行。

• (2,34) 同偶，可以。令 \( b-a=2 \), \( b+a=34 \)，解得 \( b=18, a=16 \)。

• (4,17) 一奇一偶，不行。

代入 \( n = a^2 - 100 = 16^2 - 100 = 256 - 100 = 156 \)。

检验：\( 156+168=324=18^2 \)。完美！

阿星的避雷针：

大多数人会怎么错：两数差为 \( 99-44=55 \)，得到 \( (b-a)(b+a)=55 \)。分解因数(1,55), (5,11)。可能忘记“同奇偶”条件，误以为(1,55)和(5,11)都可行，从而解出多组错误答案。

图解陷阱：回到面积图，(b-a)和(b+a)是拼成长方形的长和宽。如果它们一奇一偶，长方形的长和宽就不是整数了吗？不是，它们仍是整数。但关键在于，由 \( b-a \) 和 \( b+a \) 解出的 \( b \) 和 \( a \) 必须是整数。如果它们一奇一偶，那么 \( b = \frac{(b+a)+(b-a)}{2} \) 就不是整数了！

正确思路：严格应用“同奇偶”筛选。55的因数对：

(1,55)：1奇55奇 → 同奇，可行。解得 \( b=28, a=27 \)。

(5,11)：5奇11奇 → 同奇，可行。解得 \( b=8, a=3 \)。

因此有两个解：\( n = 27^2-44 = 685 \) 或 \( n = 3^2-44 = -35 \)。由于题目常隐含“正整数”条件，所以答案是685。这里漏掉筛选或忽略负数情况都是常见错误。

思维迁移：这本质上还是“平方差”问题！设小明年龄为 \( n \)（完全平方数），爸爸年龄为 \( a^2 \)，爷爷年龄为 \( b^2 \)。条件“这个数加上爸爸的年龄是爷爷年龄的平方”转化为 \( n + a^2 = b^2 \)，即 \( b^2 - a^2 = n \)。条件“爸爸比小明大28岁”即 \( a^2 - n = 28 \)。联立后，核心仍是处理一个关于完全平方数的方程组，需要灵活运用平方差公式进行因式分解和讨论。