初二数学期末急救：完全平方公式（符号）易错题合集与避坑指南 | 星火网：典型例题精讲

【易错题1：概念陷阱】 化简：\((-2x - \frac{1}{3}y)^2\)

💀 错误率：85%

❌ 常见错误：
错误1：\(-(2x + \frac{1}{3}y)^2 = -(4x^2 + \frac{4}{3}xy + \frac{1}{9}y^2)\)
错误2：\(4x^2 - \frac{4}{3}xy + \frac{1}{9}y^2\)（中间项符号错）

✅ 阿星解析：
第一步：识别“整体”。把原式看作 \([- (2x + \frac{1}{3}y)]^2\)。
第二步：运用“平方扒负号”原理。\([- (2x + \frac{1}{3}y)]^2 = (2x + \frac{1}{3}y)^2\)。
第三步：正确展开。令 \(a=2x, b=\frac{1}{3}y\)，则：
\(原式 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot (\frac{1}{3}y) + (\frac{1}{3}y)^2\)
\(= 4x^2 + \frac{4}{3}xy + \frac{1}{9}y^2\)

【易错题2：思维陷阱】 边长为 \(a\) 的大正方形，挖去一个边长为 \(b\) 的小正方形（\(a > b > 0\)），剩余部分沿虚线剪开，拼成一个长方形（如下图）。请用两种方法表示这个长方形的面积，并由此证明恒等式。

💀 错误率：90%

❌ 常见错误：1. 拼成的长方形长和宽看错，面积写错。2. 从图形面积相等直接得到 \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\)，但题目要求“证明恒等式”，学生往往写不出严谨的推导过程，或者混淆了要证的公式。

✅ 阿星解析：
第一步：看图说话，表示面积。
方法一（拼图前）：剩余部分面积 = 大正方形面积 - 小正方形面积 = \(a^2 - b^2\)。
方法二（拼图后）：
左上角矩形 I 的面积 = \(b(a-b)\)。
下方部分（II 和 III 拼成）是一个大矩形，其长 = \(a+b\)，宽 = \(a-b\)，面积 = \((a+b)(a-b)\)。
所以，拼成的整个长方形面积 = \(b(a-b) + (a+b)(a-b)\)。
第二步：建立等式并推导。
因为拼图前后面积不变，所以：
\(a^2 - b^2 = b(a-b) + (a+b)(a-b)\)
右边提取公因式 \((a-b)\)：
\(a^2 - b^2 = (a-b)[b + (a+b)]\)
\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+2b)\)？ 停！这里出错了！
阿星提醒：仔细看图！拼图后的长方形，是由原来的区域 I 和 (II+III) 上下拼接而成，它们的宽都是 \(a-b\)，所以可以直接将它们的长度相加。
因此，更准确的方法是：拼图后长方形的长 = \(b + (a+b) = a + 2b\)？不对！ 这个“长”是 I 的边长 b 和 (II+III) 的边长 (a+b) 直接相加，但它们方向一致吗？实际上，I 的“长”是 b（水平方向），(II+III) 的“长”是 a+b（也是水平方向），所以总长就是 \(b + (a+b) = a + 2b\)，宽是 \(a-b\)。这样面积就是 \((a+2b)(a-b)\)，这和左边 \(a^2 - b^2\) 不相等！
陷阱在此！ 我们犯了和常见错误一样的错误——看错了拼图后的图形结构。
正解思路： 实际上，拼图后的长方形，其长就是原来大正方形的边长 a 加上小正方形的边长 b，即 \(a+b\)；其宽就是大正方形边长减小正方形边长，即 \(a-b\)。这可以直接从右边图形看出：总高度是 a，切掉一块 b 后剩下的就是 a-b；总宽度是 b（左上块）加上 a（右下块平移后的长度），即 a+b。
因此，直接得到：拼图后长方形面积 = \((a+b)(a-b)\)。
所以恒等式为：\(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\)。这才是平方差公式的几何证明。

【易错题3：大题陷阱】 已知 \(x + \frac{1}{x} = 3\)，求：
(1) \(x^2 + \frac{1}{x^2}\) 的值；
(2) \((x - \frac{1}{x})^2\) 的值；
(3) 观察(1)(2)结果，猜想 \(x^n + \frac{1}{x^n}\) 的值（用含n的式子表示，直接写答案）。

💀 错误率：95%

❌ 常见错误：
1. 求 \(x^2 + \frac{1}{x^2}\) 时，错误地写成 \((x + \frac{1}{x})^2 = 9\)，忘记公式展开后是 \(x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}\)，导致漏减2。
2. 求 \((x - \frac{1}{x})^2\) 时，错误地展开为 \(x^2 - \frac{1}{x^2}\) 或 \(x^2 + \frac{1}{x^2} - 2\) 但代入错误的上一步结果。
3. 第(3)问胡乱猜想，无法建立与前面结果的规律联系。

✅ 阿星解析：
(1) 解： 已知 \(x + \frac{1}{x} = 3\)，两边平方得：
\((x + \frac{1}{x})^2 = 3^2\)
\(x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 9\)
\(x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 9\)
所以，\(x^2 + \frac{1}{x^2} = 9 - 2 = 7\)。

(2) 解： 利用完全平方公式：
\((x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} - 2\)
将第(1)问的结果 \(x^2 + \frac{1}{x^2} = 7\) 代入上式：
\((x - \frac{1}{x})^2 = 7 - 2 = 5\)。
阿星点睛：这里也可以直接用 \((x - \frac{1}{x})^2 = (x + \frac{1}{x})^2 - 4\)，因为 \((x + \frac{1}{x})^2 - (x - \frac{1}{x})^2 = 4x \cdot \frac{1}{x} = 4\)。

(3) 解： 观察 (1) 中 \(n=2\) 时，结果是 \(7\)；(2) 中 \((x - \frac{1}{x})^2=5\)，即 \(x^2 + \frac{1}{x^2} - 2 =5\)，也得到7。
已知 \(n=1\) 时，\(x^1 + \frac{1}{x^1} = 3\)。
我们寻找规律：\(3, 7, ...\)。这像是递推关系。事实上，有恒等式：\((x^n + \frac{1}{x^n})(x + \frac{1}{x}) = x^{n+1} + \frac{1}{x^{n+1}} + x^{n-1} + \frac{1}{x^{n-1}}\)。
所以 \(x^{n+1} + \frac{1}{x^{n+1}} = (x^n + \frac{1}{x^n})(x + \frac{1}{x}) - (x^{n-1} + \frac{1}{x^{n-1}})\)。
代入 \(x + \frac{1}{x}=3\)，得递推公式：\(S_{n+1} = 3S_n - S_{n-1}\)，其中 \(S_n = x^n + \frac{1}{x^n}\)。
已知 \(S_1 = 3, S_2 = 7\)，则 \(S_3 = 3 \times 7 - 3 = 18\)，\(S_4 = 3 \times 18 - 7 = 47\)...
对于初二学生，此规律可能较难直接写出通项。一种合理的猜想是数值本身，或者指出满足 \(S_n = 3S_{n-1} - S_{n-2}\) 的规律。更深入的公式可能超纲，但观察前两项，可以猜想答案与这个递推有关。（注：此题第(3)问主要考察观察和归纳能力，答案开放）