容斥原理求面积一看就懂：两地毯重叠法+动态图解（小学数学易错点精讲）：典型例题精讲
适用年级
五年级
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最近更新
2025-12-20
📐 揭秘容斥原理：为什么“有加有减”才能算对面积？
💡 阿星解密：为什么公式长这样？
想象一下，阿星有两块漂亮的地毯，一块蓝色的，一块红色的。他想知道，如果把两块地毯都铺在客厅里，一共能覆盖多大的面积。
如果分开铺，不重叠，那面积就是简单的 蓝色面积 + 红色面积。
但如果两块地毯有一部分重叠在了一起，问题就来了！当你把蓝毯面积和红毯面积直接相加时，重叠的那块区域被计算了两次——一次算在蓝毯里，一次算在红毯里。这就像数人数时，有一个人被你数了两遍。
所以，要得到真正被覆盖的总面积，我们必须把多算的那一次减掉：
覆盖的总面积 = 蓝毯面积(A) + 红毯面积(B) - 重叠部分的面积(C)
这就是容斥原理最核心的思想：“有加有减，不重不漏”。
👀 看图说话：地毯重叠的魔法
关键点拨：
看动画的最后一步！重叠区域C拥有独特的颜色。当我们把A和B简单相加时，紫色区域C在蓝色A里算了一次，在红色B里又算了一次。为了得到准确的、没有重复的总覆盖面积，我们必须减去一次多算的C。这个被重复计算的“隐形数字”，就是解题的关键。
🔥 三级跳挑战：从陷阱到精通
【母题演示】有两张长方形的彩纸重叠在一起。蓝纸面积是10平方厘米，红纸面积是10平方厘米，它们重叠部分的面积是4平方厘米。被彩纸覆盖的总面积是多少？
阿星的显微镜（画图验证）：
我们用格子来模拟：
蓝纸 (A=10):
■■■■■■■■■■ (10格)
红纸 (B=10):
■■■■■■■■■■ (10格)
它们重叠4格：
蓝色独有的格子：■■■■■■ (6格)
红色独有的格子：■■■■■■ (6格)
重叠的紫色格子：■■■■ (4格)
覆盖的总格子 = 蓝独有 + 红独有 + 重叠
= 6 + 6 + 4
= 16 (格)
标准算式：\( 总面积 = A + B - C = 10 + 10 - 4 = 16 \) (平方厘米)
【易错陷阱】现在有三张透明的薄膜：方形膜面积20cm²，三角形膜面积15cm²，圆形膜面积10cm²。方形膜和三角形膜重叠部分为5cm²，方形膜和圆形膜重叠部分为4cm²，三角形膜和圆形膜重叠部分为3cm²。三张膜共同重叠的部分为1cm²。被薄膜覆盖的总面积是多少？
阿星的避雷针：
大多数人会怎么错：很多人会想：\( 20+15+10-5-4-3 = 33 \) (cm²)。
图解陷阱：请看下面的SVG图。当我们用 A+B+C - (AB重叠) - (AC重叠) - (BC重叠) 时，中间那个三张膜共同重叠的小区域（黑色）被怎么样了？在A+B+C里，它被加了3次。在减去的两两重叠里，它一共被减去了3次（因为它在每个两两重叠区域里）。一加一减，它好像被“减没了”！但这块区域明明是真实存在的，应该被算1次才对。所以，我们最后必须把它加回来。
正确思路：
代入核心隐喻：总面积 = 所有单独面积之和 - 所有两两重叠之和 + 三者共同重叠。
\( 总面积 = (20+15+10) - (5+4+3) + 1 = 45 - 12 + 1 = 34 \) (cm²)。
【高手进阶】阿星调查了班上的兴趣小组。喜欢篮球的有18人，喜欢足球的有15人，喜欢乒乓球的有12人。既喜欢篮球又喜欢足球的有8人，既喜欢篮球又喜欢乒乓球的有5人，既喜欢足球又喜欢乒乓球的有4人。三种运动都喜欢的有2人。请问，班上至少喜欢一种运动的同学有多少人？
思维迁移：看，这不就是“三张地毯重叠”问题吗？只不过“面积”换成了“人数”。篮球、足球、乒乓球就是三张“人地毯”。用容斥原理公式直接解决：
总人数 = (18+15+12) - (8+5+4) + 2 = 45 - 17 + 2 = 30 (人)。
核心洞察：容斥原理不只是算“面积”，一切涉及“分类计数，防止重复”的问题，都可能用到它。比如统计人数、计算页码中出现某个数字的次数等等。
📝 阿星的定海神针（口诀）：
集合有重叠，相加会多算。
减去重复部，复杂也不乱。
若是三集合，多加要回算。
有加又有减，不重不漏是答案！
🚀 举一反三：巩固练习
（基础复现）两个正方形卡片部分重叠。大正方形面积24cm²，小正方形面积18cm²，重叠部分面积为6cm²。被卡片覆盖的总面积是多少？
（陷阱识别）一次测验，解对第一题的有25人，解对第二题的有20人，两题都解对的有8人。问：至少解对一题的有多少人？（提示：画两个重叠的圆圈想想）
（生活应用）阅览室里，有30人看了漫画书，有22人看了科幻书，有15人两种书都看了。阅览室至少看了一种书的读者有多少人？
📚 答案与解析
【答案速查】
- 练习一：24 + 18 - 6 = 36 (cm²)
- 练习二：25 + 20 - 8 = 37 (人) （易错：不是25+20=45，那样就把两题都对的人算了两遍。）
- 练习三：30 + 22 - 15 = 37 (人)
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