切开的魔法：长方体涂色问题通关秘籍

> 切开，你就看到了一切。数学的秘密，就藏在每一次切割的横截面里。

💡 阿星解密：为什么公式长这样？

想象你有一块完美的牛奶方砖（一个正方体）。现在，阿星要用刀把它切成小方块。关键魔法来了： 每切一刀，刀锋都会经过长方体内部，在切开的断面上，会暴露出两个全新的面。这两个面，就是增加的表面积。

所以，想求“切成小方块后，总表面积增加了多少”，你根本不需要死记硬背。你只需要问自己：阿星总共切了几刀？ 因为：增加的表面积 = 切的刀数 × 2 × （一个切面的面积）

关键点拨：
让我们用“慢动作”回放切一刀的过程：刀是垂直切下去的，它会完整地穿过整个长方体的一个面（比如顶面）。刀锋所过之处，原来内部看不见的部分，现在暴露在空气中了。对于左边这块，右边是新面孔；对于右边这块，左边是新面孔。所以，一刀必定带来两个全新的面。 这个“2”，就是公式的灵魂。

🔥 三级跳挑战：从陷阱到精通

    原正方体：[████████] 边长4cm
    切一刀后：[████] [████] 变成了两个长方体
    
    切口横截面是一个正方形：
    边长 = 原正方体棱长 = 4cm
    面积 = 4 × 4 = 16 (cm²)
    
    看！这个切口，为左边的长方体贡献了一个新面（16cm²），也为右边的长方体贡献了一个新面（16cm²）。
    

🚀 举一反三：巩固练习

📚 答案与解析

【答案速查】

练习一： 50 dm²。解析：切1刀，增加2个面。每个切面是边长为5dm的正方形，面积25 dm²。增加总面积=2×25=50 dm²。

练习二： 648 cm²。解析：这是陷阱！先找最大正方体棱长，即长宽高的最大公因数：3cm。长边切12÷3-1=3刀，宽边切9÷3-1=2刀，高边切6÷3-1=1刀，共6刀。分类计算：沿长切(3刀)，切面9×6=54cm²，增3×2×54=324cm²；沿宽切(2刀)，切面12×6=72cm²，增2×2×72=288cm²；沿高切(1刀)，切面12×9=108cm²，增1×2×108=216cm²。合计324+288+216=828cm²？等等，这里有个重复计算问题！当我们先沿长、再沿宽切时，第二次切的切面大小已经变了。更可靠的方法是：最终小正方体个数=(12÷3)×(9÷3)×(6÷3)=24块。总表面积=24×(6×3×3)=1296 cm²。原表面积=2×(12×9+12×6+9×6)=468 cm²。差值=1296-468=828 cm²。我上面的刀法计算有误，因为它把三维交叉切割后产生的新切面重复归类了。这道题很好地说明了，在复杂切割时，“先算总块数再算总表面积相减”有时比“刀法”更直接。但“刀法”思维是理解根源。

练习三： 10.08 平方米。解析：每人得到正方形蛋糕，即底面是正方形。厚度固定0.6米，所以要把长2.4米、宽1.2米的底面分成48个相同的正方形。每个正方形面积=(2.4×1.2)÷48=0.06平方米，边长为√0.06≈0.245米（不是整数，但计算面积不需要）。实际上，我们可以按刀数算：要把长2.4米切成0.245米一段，约切9刀（2.4÷0.245≈9.8，应取整，但题目说“平均分”，我们直接用面积法更准）。更严谨的“刀法”思维是：增加的表面积来自于侧面的切割。原来蛋糕只有上下底和四个侧面。切分后，增加了内部许多新的“侧面”。计算：原表面积=2×(2.4×1.2 + 2.4×0.6 + 1.2×0.6)=2×(2.88+1.44+0.72)=10.08 m²。分给48人，每人得到一块长a、宽a、高0.6的小长方体。所有小块的总体积=原体积=2.4×1.2×0.6=1.728 m³。每个小块体积=1.728÷48=0.036 m³。因为高是0.6米，所以底面积=0.036÷0.6=0.06 m²，边长a=√0.06 m。一个小块表面积=2×(a² + a×0.6 + a×0.6)=2a²+2.4a。48块总表面积=48×(2a²+2.4a)=96a²+115.2a。代入a²=0.06，a≈0.2449，得总表面积≈48×(0.12+0.14694)=48×0.26694≈12.81 m²。增加面积≈12.81-10.08=2.73 m²。可见，当切割不是均匀分成整数段时，计算变得复杂。本题旨在引导学生思考模型应用边界。简化版整数答案可为：若恰好能切成整数小块（如长边切7刀成8段，宽边切5刀成6段，共48块），则可用刀法：长边切7刀，增加面面积7×2×(1.2×0.6)=10.08；宽边切5刀，增加面面积5×2×(2.4×0.6)=14.4；总增加24.48 m²。原题数据设计不佳，此处以理解思路为主。