破解“价值悖论”：为什么救命的水比钻石便宜？阿星用一道偏导题讲透！：典型例题精讲

💡 阿星精讲：价值悖论的本质

我们常说“物以稀为贵”，但为什么对我们生存至关重要的水，几乎免费，而并非生存必需的钻石却如此昂贵？这个看似矛盾的现象就是经济学中的「价值悖论」，它的钥匙藏在数学里的「总效用」与「边际效用」的偏微分关系中。

想象一下，总效用 \( TU(x) \) 是你消费一定数量商品获得的总满足感。而边际效用 \( MU(x) \) 是偏导数：\( MU(x) = \frac{\partial TU(x)}{\partial x} \)，它表示再多消费1单位商品带来的新增满足感。

水的总效用 \( TU_W \) 极高，但因为我们消费量极大（\( x_W \) 很大），根据边际效用递减规律，最后一单位水带给我们的边际效用 \( MU_W \) 变得非常低。钻石的总效用 \( TU_D \) 可能远低于水，但其数量极其稀少（\( x_D \) 很小），所以其边际效用 \( MU_D \) 非常高。商品的市场价格不取决于它的总效用有多大，而是由最后一单位带来的边际效用有多高来决定的。因此，即便水对生命无比重要（总效用高），也因其丰富而“便宜”；钻石虽非必需（总效用相对低），却因其稀有而“昂贵”。

🔥 经典例题精析

🚀 举一反三：变式挑战

答案与解析

经典例题答案：水的边际效用 \( MU_W = 5 \)，钻石的边际效用 \( MU_D = 2 \)。（解析见上文阿星拆解部分）

变式一解析：
计算边际效用函数：
\( MU_A = \frac{\partial TU_A}{\partial x_A} = \frac{80}{x_A+1} \)。代入 \( x_A = 1000 \)，得 \( MU_A = \frac{80}{1001} \approx 0.08 \)。
\( MU_P = \frac{\partial TU_P}{\partial x_P} = 10 \)。代入 \( x_P = 1 \)，得 \( MU_P = 10 \)。
比较得，空气的边际效用 (\( \approx 0.08 \)) 远低于古董画的边际效用 (\( 10 \))。尽管空气总效用极大，但因数量极其丰富，其边际效用趋近于零，因此市场价格为零（免费）。

变式二解析：
计算边际效用价格比：
\( \frac{MU_G}{P_G} = \frac{4}{1} = 4 \)，
\( \frac{MU_{Au}}{P_{Au}} = \frac{100}{1000} = 0.1 \)。
两者不相等 (\( 4 e 0.1 \))，未达到消费者均衡（效用最大化）。因为 \( \frac{MU_G}{P_G} > \frac{MU_{Au}}{P_{Au}} \)，说明每单位货币花在粮食上获得的效用增量更高。消费者应增加粮食消费（导致 \( MU_G \) 下降），减少黄金消费（导致 \( MU_{Au} \) 上升），直至两者比值相等。

变式三解析：
① 设灾前分配 \( x_1 \)，灾后分配 \( x_2 \)，且 \( x_1 + x_2 = 100 \)。总效用 \( TU = TU_1 + TU_2 = 10x_1 + 500\sqrt{x_2} \)。代入 \( x_1 = 100 - x_2 \)，得 \( TU = 10(100 - x_2) + 500\sqrt{x_2} = 1000 - 10x_2 + 500\sqrt{x_2} \)。为求最大值，对 \( x_2 \) 求导并令为零：\( \frac{dTU}{dx_2} = -10 + 500 \times \frac{1}{2}x_2^{-\frac{1}{2}} = -10 + \frac{250}{\sqrt{x_2}} = 0 \)。解得 \( \sqrt{x_2} = 25 \)，即 \( x_2 = 625 \)，但此值超过总量 \( 100 \)，不满足约束。在边界 \( x_2 = 100, x_1 = 0 \) 时总效用最大。即全部物资留到灾后使用。
② 动态分析：灾前，物资充裕（假设），边际效用 \( MU_1 = 10 \) 较低，价格低；灾后，物资稀缺，边际效用 \( MU_2 = \frac{250}{\sqrt{x_2}} \) 急剧升高（如 \( x_2=100 \) 时，\( MU_2=25 \)），价格随之暴涨。这解释了为何灾时“一杯水”的价值（边际效用）远超平时。