💡 阿星精讲：宇宙情书 的本质

在广袤的宇宙中，行星的轨迹、星辰的韵律，并非杂乱无章。它们遵循着深邃而简洁的数学法则，就像宇宙用最精妙的语言写下的情书。我们人类，作为仰望星空的碳基生物，发明了诸如 \( T \)、 \( R \)、 \( k \) 这样的符号语言，试图解读这封情书。当我们写下 \( T^2 = kR^3 \) 时，我们不仅仅是在解一道物理题，更是在完成一次跨越维度的对话——用我们有限的智慧，去触碰那无限的、宏大的真理。这种试图理解并拥抱宇宙的渴望，便是数学与科学中最极致的浪漫。

🔥 经典例题精析

🚀 举一反三：变式挑战

答案与解析

经典例题答案： \( T \approx 11.9 \) 年。

解析：过程见上方阿星拆解。

变式一答案： “标准行星”周期为 \( 1.25 \) 年。

解析：设标准行星周期为 \( T_0 \)，半径为 \( R_0 \)，则系外行星周期 \( T = 10 \)，半径 \( R = 4R_0 \)。由 \( T^2 / R^3 = T_0^2 / R_0^3 \)，代入得 \( 10^2 / (4R_0)^3 = T_0^2 / R_0^3 \)，即 \( 100 / (64 R_0^3) = T_0^2 / R_0^3 \)。解得 \( T_0^2 = 100 / 64 = 25/16 \)，故 \( T_0 = 5/4 = 1.25 \) 年。

变式二答案： 约 \( 18 \) 天文单位。

解析：由 \( T_{\text{哈}}^2 / R_{\text{哈}}^3 = T_{\text{地}}^2 / R_{\text{地}}^3 \)，代入 \( T_{\text{哈}}=76 \)， \( T_{\text{地}}=1 \)， \( R_{\text{地}}=1 \)。得 \( 76^2 / R_{\text{哈}}^3 = 1^2 / 1^3 \)，即 \( R_{\text{哈}}^3 = 76^2 = 5776 \)。 \( R_{\text{哈}} = \sqrt[3]{5776} \approx 17.94 \)，保留整数为 \( 18 \) 天文单位。

变式三答案： 周期之比为 \( 27 : 1 \)。

解析：设两卫星半径、周期分别为 \( R_1, T_1 \) 和 \( R_2, T_2 \)，且 \( R_1 = 9 R_2 \)。因为中心天体相同，所以 \( T_1^2 / R_1^3 = T_2^2 / R_2^3 \)。代入得 \( T_1^2 / (9R_2)^3 = T_2^2 / R_2^3 \)，即 \( T_1^2 / (729 R_2^3) = T_2^2 / R_2^3 \)。所以 \( T_1^2 / T_2^2 = 729 \)，故 \( T_1 / T_2 = \sqrt{729} = 27 \)。比例是 \( 27:1 \)。