空气阻力救了你！物理极限“举一反三”深度攻略，彻底弄懂终端速度：典型例题精讲
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五年级
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最近更新
2025-12-20
💡 阿星精讲：物理极限 的本质
想象一下，如果没有空气阻力，雨滴从万米高空像一颗小子弹一样加速坠落，那将会多么可怕！幸好，空气阻力救了你。物理中的“极限”，如终端速度，描述的就是当动力（如重力）与阻力（如空气阻力）从“你追我赶”到最终握手言和、达到平衡的状态。这不只是一个静止的结果，而是一个动态过程（常通过微分方程描述）的终点：当雨滴速度增加时，空气阻力 \( f = kv \)（或 \( kv^2 \)）也随之增大，直到它完全抵消重力 \( mg \)，此时加速度为零，速度达到上限——终端速度 \( v_t \)**。
🔥 经典例题精析
题目：一个雨滴质量为 \( m = 5.0 \times 10^{-6} \text{kg} \)，在下落过程中所受空气阻力与其速度成正比，即 \( f = kv \)，其中比例系数 \( k = 1.0 \times 10^{-5} \text{N·s/m} \)。取重力加速度 \( g = 10 \text{m/s}^2 \)。求该雨滴下落的终端速度 \( v_t \)。
阿星拆解：
第一步：受力分析。雨滴受竖直向下的重力 \( G = mg \)，以及竖直向上的空气阻力 \( f = kv \)。
第二步：列平衡方程。当达到终端速度时，加速度为零，合力为零：
\[ mg = kv_t \]
第三步：解出极限。直接解出终端速度 \( v_t \)：
\[ v_t = \frac{mg}{k} = \frac{5.0 \times 10^{-6} \times 10}{1.0 \times 10^{-5}} \text{m/s} = 5.0 \text{m/s} \]
口诀：极限速度哪里寻？动力阻力等一分，动态平衡是根本，从此匀速稳心神。
🚀 举一反三：变式挑战
一颗小冰雹（质量 \( m = 1.0 \times 10^{-4} \text{kg} \)）下落，空气阻力与速度平方成正比，\( f = C_d \rho A v^2 / 2 \)，设其等效系数 \( k' = 2.0 \times 10^{-4} \text{N·s}^2/\text{m}^2 \)，\( g = 10 \text{m/s}^2 \)。求其终端速度 \( v_t \)。
实验测得某雾滴在空气中下落的终端速度约为 \( 2.0 \text{m/s} \)。若已知阻力满足 \( f = kv \)，且比例系数 \( k = 3.0 \times 10^{-5} \text{N·s/m} \)，\( g = 10 \text{m/s}^2 \)，试估算该雾滴的质量 \( m \)。
一个带电油滴在匀强电场 \( E \) 和空气中竖直运动。已知电场力恒为 \( F_e = 2.0 \times 10^{-5} \text{N} \) 向上，重力 \( G = 4.0 \times 10^{-5} \text{N} \) 向下，空气阻力 \( f = kv \) (\( k = 5.0 \times 10^{-5} \text{N·s/m} \))。问油滴向上和向下运动时的终端速度 \( v_{t1} \) 和 \( v_{t2} \) 各是多少？
答案与解析
经典例题答案： \( v_t = 5.0 \text{m/s} \) （解析见阿星拆解部分）。
变式一解析：
平衡时，有 \( mg = k' v_t^2 \)。
代入数据：\( 1.0 \times 10^{-4} \times 10 = 2.0 \times 10^{-4} \times v_t^2 \)。
解得：\( v_t^2 = 5.0 \)，故 \( v_t = \sqrt{5} \approx 2.24 \text{m/s} \)。
变式二解析：
平衡时，有 \( mg = k v_t \)。
变形得：\( m = \frac{k v_t}{g} \)。
代入数据：\( m = \frac{3.0 \times 10^{-5} \times 2.0}{10} = 6.0 \times 10^{-6} \text{kg} \)。
变式三解析：
向上运动时： 电场力与重力均向下（？仔细分析：油滴要向上运动，说明电场力大于重力，合力向上。但阻力向下）。设向上为正方向，则动力为 \( F_e \)，阻力为 \( G + kv \)（重力和空气阻力均向下，与正方向相反）。平衡时：\( F_e = G + k v_{t1} \)。
代入：\( 2.0 \times 10^{-5} = 4.0 \times 10^{-5} + 5.0 \times 10^{-5} \times v_{t1} \)， 解得 \( v_{t1} = -0.4 \text{m/s} \)。负号表示假设方向错误，实际是向下运动达到平衡。结论：无法向上匀速。
向下运动时： 设向下为正方向。动力为 \( G \)，阻力为 \( F_e + k v \)（电场力向上，空气阻力向上）。平衡时：\( G = F_e + k v_{t2} \)。
代入：\( 4.0 \times 10^{-5} = 2.0 \times 10^{-5} + 5.0 \times 10^{-5} \times v_{t2} \)， 解得 \( v_{t2} = 0.4 \text{m/s} \)。
因此，油滴最终将以 \( 0.4 \text{m/s} \) 的速度匀速下落。
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