阿星拆解：

看，这里有10个分数，分母从11到20。它们都不好算，直接加很麻烦。我们用“界限思维”！

第1步：寻找“放大”的界限（求最大值）
这10个数里，最大的是第一个：\( \frac{1}{11} \)。如果我把所有10个数都放大成这个最大的 \( \frac{1}{11} \)，那么新的总和肯定比原来的A大。
所以：\( A < 10 \times \frac{1}{11} = \frac{10}{11} \)。
✅ 我们得到了A的上限（天花板）：\( \frac{10}{11} \)。

第2步：寻找“缩小”的界限（求最小值）
这10个数里，最小的是最后一个：\( \frac{1}{20} \)。如果我把所有10个数都缩小成这个最小的 \( \frac{1}{20} \)，那么新的总和肯定比原来的A小。
所以：\( A > 10 \times \frac{1}{20} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} \)。
✅ 我们得到了A的下限（地板）：\( \frac{1}{2} \)。

第3步：得出结论
把“地板”和“天花板”合起来，我们就知道答案A被关在哪间“房子”里了：
\[ \boxed{\frac{1}{2} < A < \frac{10}{11}} \]
看，我们虽然没算精确值，但成功把它锁定在一个明确的范围内了！这就是放缩法的威力。

阿星敲黑板：这里的陷阱是分母变成了带根号的数，看起来复杂了。但别怕，我们的“界限思维”照样好用！这道题只问“是否大于18”，我们不需要完整范围，只需巧妙地缩小，求出一个比S小的值，看看这个值是否已经大于18。

第1步：寻找“缩小”的途径
我们想证明S > 18，如果能找到一个比S还小的数，而这个数已经>18，那S肯定>18。
直接对每一项缩小有点难。我们换个思路：把数列分组。

第2步：分组并放大分母以求缩小分数
注意这个技巧：对于分母 \( \sqrt{n} \)，如何找到一个更小的值来替换 \( \frac{1}{\sqrt{n}} \) ？
观察：\( \frac{1}{\sqrt{n}} > \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n-1}} \) （因为分母变大了，分数值变小了）。
而 \( \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n-1}} \) 可以通过有理化变形：
\[ \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n-1}} = \frac{\sqrt{n} - \sqrt{n-1}}{(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})} = \sqrt{n} - \sqrt{n-1} \]
太棒了！我们得到了一个关键不等式：
\[ \frac{1}{\sqrt{n}} > \sqrt{n} - \sqrt{n-1} \quad (对于\, n \ge 1) \]

第3步：应用不等式进行“缩小”求和
我们把每一项 \( \frac{1}{\sqrt{n}} \) 都用比它小的 \( \sqrt{n} - \sqrt{n-1} \) 替换，那么整个和S肯定大于替换后的和：
\[ \begin{aligned} S &= \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + ... + \frac{1}{\sqrt{100}} \\ &> (\sqrt{1} - \sqrt{0}) + (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + ... + (\sqrt{100} - \sqrt{99}) \end{aligned} \]

第4步：计算“缩小”后的和（望远镜求和法）
看右边这一串相加：\( \sqrt{1} - \sqrt{0} = 1-0\)， \( \sqrt{2} - \sqrt{1} \)， \( \sqrt{3} - \sqrt{2} \) ... 一直到 \( \sqrt{100} - \sqrt{99} \)。
从第二项开始，前一项的减数和后一项的被减数可以抵消！像望远镜一样缩进去：
\[ (\cancel{\sqrt{1}} - 0) + (\sqrt{2} - \cancel{\sqrt{1}}) + (\sqrt{3} - \cancel{\sqrt{2}}) + ... + (\sqrt{100} - \cancel{\sqrt{99}}) = \sqrt{100} - 0 = 10 \]
哎呀，算出来是10，10并没有大于18啊？这说明我们“缩小”得太狠了，得到的下界（10）太低了，无法判断S和18的关系。

第5步：调整策略，寻找更强的“缩小”方法
上面的方法对每一项缩得太小。我们试试只对一部分项进行精细处理。
我们把前几项单独算出来：
\( \frac{1}{\sqrt{1}} = 1, \quad \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707, \quad \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577, \quad \frac{1}{\sqrt{4}} = 0.5 \)
前4项和 ≈ 1 + 0.707 + 0.577 + 0.5 = 2.784。
对于第5项到第100项（共96项），我们用入门题的方法：它们都小于 \( \frac{1}{\sqrt{4}} = 0.5 \)，但大于 \( \frac{1}{\sqrt{100}} = 0.1 \)。为了求S的下界（最小值），我们把这96项全部缩小为最小的 \( \frac{1}{\sqrt{100}} = 0.1 \)。
那么：
\[ S > 2.784 + 96 \times 0.1 = 2.784 + 9.6 = 12.384 \]
12.384依然小于18，还是不行。

第6步：正确解法（利用积分背景或更强的不等式）*
*这里涉及更深的技巧，我们用一个经典结论：
\[ 2(\sqrt{n+1} - 1) < \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + ... + \frac{1}{\sqrt{n}} < 2\sqrt{n} \]
令 n=100，则 S > \( 2(\sqrt{101} - 1) \)。
因为 \( \sqrt{101} > 10 \)，所以 \( 2(\sqrt{101} - 1) > 2 \times (10 - 1) = 18 \)。
因此，我们终于得到：S > 18。
✅ 陷阱提示：放缩的“力度”很重要。缩得太小或放得太大，都可能得不到有用结论。有时需要结合其他数学工具（如积分近似）来找到力度刚好的不等式。

思维迁移：场景变成了“证明和小于2”，而且是无穷多项（n可以很大）。但核心没变：用“放大”法，把不好求的和，放大成一个我们知道极限的、更简单的和，从而“卡住”它的上限。

第1步：观察并寻找放大模式
我们想放大 \( \frac{1}{k^2} \)。一个经典技巧是利用：
\[ \frac{1}{k^2} < \frac{1}{k(k-1)} \quad (对于\, k \ge 2) \]
为什么？因为 \( k^2 > k(k-1) \)，所以倒数反过来。

第2步：对每一项进行放大（从第二项开始）
令 \( T_n = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + ... + \frac{1}{n^2} \)。
对于 k ≥ 2，有 \( \frac{1}{k^2} < \frac{1}{k(k-1)} \)。
而 \( \frac{1}{k(k-1)} \) 可以拆项（裂项）：\( \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} \)。这个形式太好了！

第3步：应用放大并求和
\[ \begin{aligned} T_n &= 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + ... + \frac{1}{n^2} \\ &< 1 + \left( \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + ... + \frac{1}{(n-1) \times n} \right) \quad \text{(这里用了放大不等式)} \\ &= 1 + \left[ (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + ... + (\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}) \right] \end{aligned} \]

第4步：计算放大后的和（再次望远镜求和）
看中括号里面：\( \frac{1}{1} - \cancel{\frac{1}{2}} + \cancel{\frac{1}{2}} - \cancel{\frac{1}{3}} + ... + \cancel{\frac{1}{n-1}} - \frac{1}{n} = 1 - \frac{1}{n} \)。
所以：
\[ T_n < 1 + (1 - \frac{1}{n}) = 2 - \frac{1}{n} \]

第5步：得出结论
由于 \( \frac{1}{n} > 0 \)，所以 \( 2 - \frac{1}{n} < 2 \)。
因此，我们证明了：
\[ \boxed{T_n < 2 - \frac{1}{n} < 2} \]
✅ 完美！我们通过把每一项放大成一个能裂项相消的形式，轻松“卡死”了总和的上限，而且这个上限2与n无关，非常强。这就是放缩法在证明题中的妙用。