阿星拆解：

1. 理解题意：“沿直线剪”意味着切口是直的。“最多”意味着我们要找所有切法中，结果角数最大的那种。

2. 头脑风暴（穷举法）：我们拿一张正方形纸，它的角编号为A、B、C、D。剪掉一个角，其实就是用一条直线连接两条边上的两个点。关键来了：这条线连接哪两条边？

• 情况一：直线连接一个角的两条邻边（比如，从AB边中间切到AD边中间）。这样，我们正好把A角整个切掉了。数一数：原来的B、C、D角还在，切口产生了两个新角（E和F）。所以，总角数 = 3（老角）+ 2（新角）= 5个角。



• 情况二：直线连接一个角的对边和邻边（比如，从AB边中间切到CD边中间？不对，这样切不到一个“角”。仔细想，应该是从一个角（A点）出发，切到它不相邻的边（比如BC边）上。这样，A角被切掉一部分，但没完全消失。数一数：A角变成了两个小角，B、C、D角都在。所以，总角数 = 4（老角A分裂成两个，加上B、C、D）- 1（原A角消失）+ 2（新切口产生两个新角）... 这样算太乱，我们直接画图数：A处有1个角，切口产生2个新角，B、C、D各1个。总共是 6个角。



• 情况三：直线连接两条对边（比如，从AB边中间切到CD边中间，并且经过A角？不经过角）。实际上，如果我们小心地切，让这条线刚好擦过一个角（比如A点），那么A角实际上没有被“剪掉”，而是被“切小”了。但更经典的切法是：切线不经过任何原有顶点。这时，我们切掉了一个“四边形”的小块。数一数：原来的四个角都还在，切口产生了两个新角。所以，总角数 = 4（老角）+ 2（新角）= 6个角。但等等，如果我们让切线刚好经过一个顶点呢？那其实就变回情况一或二了。为了得到“最多”，我们要让切口产生的新角最多。

3. 终极发现：如果我们从一个角的顶点（如A）出发，切到它不相邻的对边（BC边）的中间，神奇的事情发生了！我们来看图形：原来的角A被切掉了，但切口与两条边（AB和AD）相交，产生了两个新角；同时，切口与对边BC相交，又在BC边上产生了一个新角？不对，仔细画图：这样切完之后，图形是一个五边形吗？不，是一个六边形！没错，这就是著名的“一刀变六边形”切法。让我们规范地描述：切线连接一个顶点和这个顶点不相邻的那条边（例如，从A点切到BC边上的某点，不包含B、C点）。这时，原来正方形的四个角中，A角消失，B、C、D角保留。切口与AB、AD、BC三条边相交，产生了三个新的顶点（也就是三个新角）。所以总角数 = 3（老角B、C、D）+ 3（三个新角）= 6个角。

4. 结论：经过分类讨论，我们发现剩下的纸片可能有5个角（三角形）、6个角（五边形？再确认：情况一是五边形，情况三也是五边形？不对，情况三是六边形）。实际上，经典结论是：5个角、6个角、7个角都有可能。但题目问“最多”，那答案就是 \( 5 \) 吗？不对，我们刚才分析出有6个角的情况。让我们更严谨地画图验证三种标准切法：

- 切法1（切线连接两条邻边）：剩下五边形，5个角。

- 切法2（切线连接一个顶点和一条对边）：剩下六边形，6个角。

- 切法3（切线连接两条对边，且不经过顶点）：剩下七边形？ 等等，这不对。正方形只有四条边，连接两条对边切掉一角，剩下的图形会变成... 还是一个五边形或六边形。实际上，切一个角，剩下的图形边数（或角数）只可能增加。正方形的4个角，切一刀，最多增加3个新角（因为一刀会产生两个新顶点，但可能让一个旧顶点消失）。所以最多角数 = 4 - 1 + 3 = 6个角。

所以，“最多”是6个角。 这就是分类讨论的威力——不把所有情况摆出来，你永远不知道答案的边界在哪里。

阿星敲黑板：

陷阱在哪里？ 这道题从“正方形”升级到了“长方体”，从“角”变成了“顶点”。很多人会下意识地套用公式：8个顶点 - 切掉1个 = 7个顶点。这又错了！陷阱一：立体图形，切掉一个角（顶点）后，原来的那个顶点消失了，但新的切面会带来新的顶点。陷阱二：问的是“最少”，所以我们得找那种让新顶点增加得最少，甚至不增加的切法。

如何化解？ 继续用我们的法宝：分类讨论，基于不同的切法。

1. 理解切割：切掉长方体一个小角，意味着切面是一个三角形。这个三角形的三个顶点，必须落在长方体的棱上。

2. 穷举切法（关键看切面三角形三个顶点的位置）：

- 情况一（切得很“浅”）：切面三角形的三个点，分别就在我们要切掉的那个顶点引出的三条棱上，而且离这个顶点非常近。这样，原来的那个顶点消失，切面三角形产生了三个全新的顶点。所以，总顶点数 = 8 - 1 + 3 = 10个。这是最多的情况。

- 情况二（切得“擦边”）：如果我们让切面三角形的一个点，刚好落在长方体的另一个原有顶点上呢？比如，我们要切掉顶点A，但我们让切面通过顶点B。这样，顶点A消失了，但顶点B还在（没有被切掉）。这个切面三角形只带来了两个全新的顶点（因为第三个点就是已有的B点）。所以，总顶点数 = 8 - 1 + 2 = 9个。

- 情况三（切得“更巧妙”）：如果我们让切面三角形的两个点，分别落在长方体的两个原有顶点上（当然，这两个顶点和A点能构成一个面）。这样，A点消失，但B、C两点还在。切面只带来了一个全新的顶点。所以，总顶点数 = 8 - 1 + 1 = 8个。

- 情况四（切得“极致”）：有可能让新顶点数为0吗？也就是切面三角形的三个点，刚好都是长方体原有的顶点（除了A点本身）。这能做到吗？假设要切掉顶点A，那么我们需要找到另外三个与A相连的顶点（比如B、D、E），用它们构成一个切面。但是，B、D、E这三个点并不在同一平面上（它们和A构成一个三棱锥）。如果我们用B、D、E三点去切，切掉的不是一个“小角”，而是包含A点的一个四面体了，这符合“切掉一个小角”的描述。在这种切法下，A点消失，但没有产生任何新的顶点（因为切面的三个点B、D、E本来就是老顶点）。所以，总顶点数 = 8 - 1 + 0 = 7个。

3. 得出结论：经过分类讨论，剩下的顶点数可以是10，9，8，7。题目问“最少”，那就是 \( 7 \) 个。

核心教训：无论是平面还是立体，切角问题都不能简单做加减法。必须画图（或空间想象）+ 穷尽所有合理的切割位置。

思维迁移：

1. 识别“原型”：这道题看起来在问内角和、边数，但它本质上还是一个“切角问题”！只不过它把“角数变化”隐藏在了“内角和变化”这个条件背后。

2. 建立联系：我们知道，一个 \( n \) 边形的内角和公式是 \( (n-2) \times 180^\circ \)。“剪去一个角”后，得到一个新多边形，设其边数为 \( m \)，那么它的内角和是 \( (m-2) \times 180^\circ \)。

3. 关键转化：条件“内角和增加了 \( 180^\circ \)”意味着：

新内角和 = 原内角和 + \( 180^\circ \)

即：\( (m-2) \times 180 = [(n-2) \times 180] + 180 \)

两边同时除以 \( 180 \)：\( m - 2 = n - 2 + 1 \)

所以：\( m = n + 1 \)

也就是说，切角后，新多边形的边数比原来多1。

4. 回归“切角”分类讨论：对于一个 \( n \) 边形，切掉一个角后，边数（或角数）如何变化？这和我们最开始切豆腐的道理完全一样：

- 切法一：切线连接被切角的两条邻边。这时，原多边形的两条边合成新多边形的一条边。总边数变化：减少1条（两条变一条），再增加0条（切口是原有边的一部分）。所以新边数 \( m = n - 1 \)。

- 切法二：切线连接被切角的一个邻边和另一条非邻边。这时，原多边形的一条边被分成两段（增加1条），切口新增一条边。总边数变化：增加1条。所以 \( m = n + 1 \)。

- 切法三：切线连接两条非邻边（且不经过其他顶点）。这时，切口新增一条边。总边数变化：增加1条。所以 \( m = n + 1 \)？不，仔细分析：这样切，原来那个角对应的两条边都保留了一部分，相当于多边形的两条边界线，加上切口的一条线，总共让边数增加了2条？让我们数一下：原来有n条边，切掉一个角（这个角由两条边构成），我们用一条新的切边连接了这两条边上的点。结果：原来的两条边各自被截短，但仍作为两条边存在，再加上新产生的一条切边。所以总边数 = n (原来的) + 1 (新增的切边) = n + 1。没错，还是 \( m = n + 1 \)。

实际上，经典结论是：切一个角，边数可能变为 \( n-1, n, n+1 \)。对应角数变化也是 \( -1, 0, +1 \)（相对于原角数n）。

5. 解题：从条件我们推出 \( m = n + 1 \)。对照上面的分类，这对应着切法二或三。所以，原来多边形的边数 \( n \) 可以是任意大于等于3的整数吗？等等，我们需要检查。如果 \( m = n+1 \)，且内角和增加了 \( 180^\circ \)，这个关系对任何n都成立吗？我们已经从公式推导出 \( m = n+1 \)，这本身就是一个确定关系，不需要再求n的具体值？不对，题目是问“原来有多少条边”，这说明n应该是一个唯一确定的数。

我们重新审视公式：\( (m-2) \times 180 = (n-2) \times 180 + 180 \) => \( m = n + 1 \)。

这只是一个关系式。我们还需要另一个条件：\( m \) 和 \( n \) 都是整数，且 \( n \ge 3 \)，\( m \ge 3 \)。但仅凭这个，n可以是3，4，5,... 无穷多个。所以题目可能有隐含条件，或者我漏掉了什么。

啊！我明白了。陷阱就在这里！“切去一个角”这个操作，对于三角形（n=3）和多边形（n>3）是有区别的。对于一个三角形，切去一个角后，它不可能变成四边形（m=4），因为三角形的角是由两条边直接构成的，切法只有连接两条邻边（相当于切掉整个角），结果会变成一个四边形吗？不，三角形切一个角（沿连接两边的直线），会变成一个四边形？画图：三角形ABC，切掉角A（连接AB、AC边上点），剩下的是一个四边形（四个点：B, C, AB上的新点，AC上的新点）。所以对于三角形，切一个角，边数从3变成了4，即 \( m = n+1 \)。内角和从180变成了360，增加了180度。完美符合条件。

对于一个四边形（n=4），要满足 \( m = n+1 = 5 \)，且内角和增加180度。四边形内角和360，五边形内角和540，确实增加了180。那么四边形能不能通过切一个角变成五边形？当然可以（用我们切豆腐的情况二或三）。

对于一个五边形（n=5），切后变成六边形（m=6），内角和从540变720，增加180。也可以。

……看来，任何多边形，只要用特定切法（使边数增加1的切法），都能满足“内角和增加180度”这个条件。所以n可以是任何大于等于3的整数？那这道题岂不是没有唯一答案？

除非，题目的意思是“剪去一个角后，内角和增加了 \( 180^\circ \)”，指的是在所有可能的切法结果中，出现了内角和增加180度的情况。那么问题就变成了：对于怎样的n，存在一种切法使得 \( m = n+1 \)？答案是：对于所有 \( n \ge 3 \) 都成立。但通常，这类题的标准答案是：原来的多边形是三角形。因为只有从三角形开始，切一个角才必然增加一条边（对于三角形，唯一的切法就是连接两条边，结果总是四边形）。对于边数更多的图形，存在其他切法导致边数不变或减少。但题目说“增加了180度”，这是一个确定的结果，意味着切完后边数一定是n+1。那么原边数n可以是任意值。

查阅常见题型，此类题的标准解释是：内角和增加180°，意味着边数增加了1条。所以原来有n条边，后来有n+1条边。而多边形切去一个角，边数可能变为n-1，n，n+1。所以“增加1”是可能情况之一，但无法反推唯一的n。如果题目是“可能原来有多少条边”，那答案是大于等于3的任意整数。如果题目是“原来一定有多少条边”，则无解。

为了符合出题意图，我们假设这是道普通中学题，它期望的答案是：由 \( (m-2)\times180 = (n-2)\times180 + 180 \) 得 \( m = n+1 \)。又因为切一个角边数可能变为 \( n-1, n, n+1 \)，所以 \( n+1 \) 是其中一种可能，无法确定唯一n。但若增加的条件是“切完后仍是一个多边形”，且“增加180°”是实际结果，则n可以为任意大于等于3的整数。然而，很多参考书会给出一个具体数字，它们可能默认了“切法”是连接一个顶点和一条对边（对于多边形，对边概念需修正），这时边数增加1。但即便如此，n仍不唯一。

让我们换个思路：也许题目是“一个多边形剪去一个角后，内角和变为 \( 180^\circ \)”之类的。但这里明确是“增加了 \( 180^\circ \)”。

因此，基于分类讨论思想，这道题的答案应该是：原来多边形的边数 \( n \) 可以是任何不小于3的整数（\( n \ge 3 \)）。 这恰恰体现了“切角问题”的核心——答案不唯一，取决于操作。但在这个特定条件（内角和增加180°）下，它锁定了一类操作（使边数+1的操作），而这类操作对任何原始多边形都可能实现。