伸手就懂！用“手掌原理”3分钟攻克“两端都种”植树难题：典型例题精讲
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2025-12-20
🌳 秒懂植树问题：用手掌搞定“两端都种”
💡 阿星起步：“两端都种树”的底层逻辑
想象一下，你面前有一条笔直的小路，要在路的两边从头到尾都种上树。这听起来很简单，但里面藏着一个超级有用的数学规律，我把它叫做“手掌原理”。
现在，举起你的一只手（对，就现在！）。你看，你有5根手指，它们之间有4个指缝。发现了吗？手指总是比指缝多1个。
“两端都种树”和这一模一样！我们把每一棵树想象成一根手指，把树与树之间的那段距离想象成一个指缝。既然从头到尾都种，那么第一棵树就是“大拇指”，最后一棵树就是“小拇指”。
所以，核心结论就是：
树的棵数，永远比树之间的“间隔数”多1。
用数学公式写出来就是：\( 棵数 = 间隔数 + 1 \)
学会这个，你就能解决生活中无数类似“排队”、“装路灯”、“插彩旗”的问题啦！它的本质，就是找到“物品”和“空当”之间那种+1的固定关系。
🔥 三级跳挑战：从入门到大神
【入门例题】在一条长 \( 100 \) 米的小路一边植树，每隔 \( 5 \) 米种一棵树。如果两端都种，一共需要多少棵树？
阿星拆解：
第一步：找“指缝”（间隔数）。 小路全长 \( 100 \) 米，每隔 \( 5 \) 米一个间隔。间隔数就是看全长能分成几段 \( 5 \) 米。
列式：\( 间隔数 = 100 \div 5 = 20 \)（个）。
第二步：用“手掌原理”（棵数比间隔数多1）。
公式：\( 棵数 = 间隔数 + 1 \)。
代入：\( 棵数 = 20 + 1 = 21 \)（棵）。
看，就像20个指缝（间隔）需要21根手指（树）一样简单！
【进阶例题】在一条长 \( 2 \) 千米的公路一侧安装路灯（两端都装），每隔 \( 50 \) 米装一盏。一共需要多少盏路灯？
阿星敲黑板： 坑来了！仔细看，路的长度单位是“千米”，而间隔距离是“米”。单位不统一，直接算肯定会错！
第一步：统一单位。 通常把大单位化成小单位不容易出错。
\( 2 \) 千米 = \( 2 \times 1000 = 2000 \) 米。
第二步：找“指缝”（间隔数）。
\( 间隔数 = 总长 \div 间隔距离 = 2000 \div 50 = 40 \)（个）。
第三步：用“手掌原理”。
\( 路灯数（棵数）= 40 + 1 = 41 \)（盏）。
记住：计算前，先让所有数字穿上统一的“衣服”（单位）！
【拔高例题】学校要在一条长廊上挂气球迎接节日。长廊长 \( 36 \) 米，从一端开始，每隔 \( 4 \) 米挂一个气球，另一端也挂。现在已经准备好了 \( 8 \) 个气球，够吗？
思维迁移： 这题换了个“马甲”，从种树变成了挂气球。但本质变了吗？一点没变！“气球”就是“树”，“长廊两端”就是“路的两端”。核心还是“手掌原理”。
第一步：抽象出模型。 这是典型的“两端都挂（种）”问题。
第二步：找间隔数。
\( 间隔数 = 长廊总长 \div 气球间隔 = 36 \div 4 = 9 \)（个）。
第三步：算需要的气球数（棵数）。
\( 需要气球数 = 间隔数 + 1 = 9 + 1 = 10 \)（个）。
第四步：做比较。
准备了 \( 8 \) 个气球，但实际需要 \( 10 \) 个。
\( 8 < 10 \)，所以不够。
看，不管题目怎么变，只要你认出它还是“两端都种”这个老朋友，用“手掌原理”就能轻松解决！
📝 阿星必背口诀：
两端都种是基础，手掌原理来帮助。
间隔加一等于树，单位统一先记住。
千变万化不迷糊，核心模型心中驻。
🚀 举一反三：变式挑战
在一条 \( 60 \) 米长的跑道一边插彩旗，从起点到终点每隔 \( 3 \) 米插一面（两端都插）。一共需要多少面彩旗？
在一条小路一边两端都种树，一共种了 \( 31 \) 棵树，相邻两棵树之间相隔 \( 6 \) 米。这条小路有多长？
工人师傅要在一条 \( 1.5 \) 千米长的管道一侧，从一端到另一端每隔 \( 30 \) 米做一个标记（两端都做）。做一个标记需要 \( 2 \) 分钟，完成所有标记一共需要多少分钟？
解析与答案
【详尽解析】
变式一（模仿练习）：
间隔数：\( 60 \div 3 = 20 \)（个）。
彩旗数（棵数）：\( 20 + 1 = 21 \)（面）。
答：需要21面彩旗。
变式二（逆向思维）：
已知棵数是 \( 31 \)，根据“手掌原理”：\( 棵数 = 间隔数 + 1 \)。
所以，间隔数 = \( 31 - 1 = 30 \)（个）。
每个间隔 \( 6 \) 米，总长 = \( 间隔数 \times 间隔距离 = 30 \times 6 = 180 \)（米）。
答：这条小路长180米。
核心提示：这是公式的逆向运用，知道“手指”求“指缝”。
变式三（综合挑战）：
第一步：统一单位。\( 1.5 \) 千米 = \( 1500 \) 米。
第二步：求标记数（相当于“棵数”）。
间隔数：\( 1500 \div 30 = 50 \)（个）。
标记数：\( 50 + 1 = 51 \)（个）。
第三步：求总时间。\( 51 \times 2 = 102 \)（分钟）。
答：一共需要102分钟。
核心提示：这是一个“两步走”问题。第一步先用植树模型算出“物品数”（标记个数），第二步再根据其他条件计算。
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