五年级上学期期末数学易错：植树问题间隔数专项突破：典型例题精讲
适用年级
五年级
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-24
💡 阿星精讲：易错：植树问题间隔数 原理
- 核心概念：植树问题根本不是“种树”，而是“数手指头”的游戏！把你的手伸出来：5根手指头，中间有4个缝，这就是“两端都种”，棵数 = 间隔数 + 1。现在，把你的大拇指和食指指尖碰在一起，围成一个圈，5根手指头，中间还是5个缝，这就是“封闭图形”，棵数 = 间隔数。别死记硬背公式，一画图，一数数，答案自己就跳出来了。
- 阿星口诀：手指张开加一个，围成一圈就相等。先看头尾连不连，画个圈圈是关键。
- 公式推导：
- 情形一：两端都种（手指张开）
设间隔数为 \( k \)，棵数为 \( n \)。因为两端都有“手指”，所以开头多一棵：
$$ n = k + 1 \quad \Rightarrow \quad k = n - 1 $$ - 情形二：封闭图形（手指围圈）
首位相连，没有“多余”的那一棵，所以数量一一对应：
$$ n = k $$ - 情形三：只种一端（比较少见）
就像一排手指砍掉最左边或最右边一根，这时棵数和间隔数也相等：\( n = k \)。
- 情形一：两端都种（手指张开）
📐 图形解析（易错：植树问题间隔数 可视化）
【图形解析】：如图所示，我们用蓝色的点代表“树”（或任何物体），用红色/橙色的虚线代表“间隔”。上图（直线）展示了“两端都种”的通用模型：设有 \( n \) 棵树（点），那么间隔数 \( k \) 总是比 \( n \) 少 1，即 \( n = k + 1 \)。下图（圆形）展示了“封闭图形”的通用模型：当点排列成一个圈时，点的数量 \( n \) 和间隔的数量 \( k \) 总是相等的，即 \( n = k \)。解题时，先判断属于哪种模型，再代入具体数字计算。
⚠️ 易错警示：星火避坑指南
- ❌ 典型错误：一看到“路”、“种树”、“挂灯笼”就机械地套用“棵数=间隔数+1”，完全不看题目是否属于“封闭图形”或“两端都不种”。
- ✅ 阿星纠正：错误的根本原因是概念不清，依赖记忆而非理解。请牢记阿星的“手指原理”：动手画图！在草稿纸上快速画出简化示意图（3-4个点即可），标出“头”和“尾”，一眼就能看出是“张开的手”还是“围成的圈”。这是破解所有变式题的万能钥匙。
🔥 经典题型：三例精讲
例题 1：基础巩固（两端都种）
题目：在一条长 \( 60 \) 米的小路一边植树，每隔 \( 5 \) 米种一棵，两端都种，一共要种多少棵？
📌 阿星解析：
- 画图理解：想象这是你张开的手掌。路长是总距离，间隔长度是手指缝的宽度。
- 先求间隔数：间隔数 \( k = 60 \div 5 = 12 \)（个）。
- 再求棵数：两端都种，属于“手指张开”模型，棵数 \( n = k + 1 = 12 + 1 = 13 \)（棵）。
✅ 答案：13棵
例题 2：类型辨析（封闭图形）
题目：一个圆形花坛周长是 \( 120 \) 米，沿着花坛每隔 \( 6 \) 米栽一棵月季花，一共能栽多少棵？
📌 阿星解析：
- 画图判断：圆形！立刻想到“手指围圈”模型。头和尾相连，棵数和间隔数相等。
- 求间隔数：间隔数 \( k = 120 \div 6 = 20 \)（个）。
- 直接得棵数：封闭图形，\( n = k = 20 \)（棵）。这里千万不要再加1！
✅ 答案：20棵
例题 3：综合应用（一端不种）
题目：一座桥长 \( 200 \) 米，在桥的两侧栏杆上安装路灯，桥头已有建筑不能安装。每隔 \( 10 \) 米安一盏，一共要安多少盏路灯？
📌 阿星解析：
- 理解题意：“桥头不能安装”意味着两端都不种。可以想象成把张开的手两端的手指砍掉。
- 单侧分析：间隔数 \( k = 200 \div 10 = 20 \)（个）。两端都不种时，棵数比间隔数少1，即 \( n_{\text{单侧}} = k - 1 = 20 - 1 = 19 \)（盏）。
- 考虑两侧：桥有两侧，所以总数 \( = 19 \times 2 = 38 \)（盏）。
✅ 答案：38盏
🚀 阶梯训练
第一关：基础热身（5道）
- 一条走廊长 \( 32 \) 米，每隔 \( 4 \) 米放一盆花（两端都放），一共要放多少盆？
- 公园里一个正方形水池边长为 \( 48 \) 米，每隔 \( 3 \) 米种一棵柳树（四个角都种），一共种多少棵？
- 时钟 \( 4 \) 点敲 \( 4 \) 下，\( 6 \) 秒敲完。那么 \( 8 \) 点敲 \( 8 \) 下，几秒敲完？（提示：敲钟时间在间隔里）
- 一根木头长 \( 15 \) 米，要把它平均锯成 \( 5 \) 段，每锯下一段需要 \( 4 \) 分钟，锯完一共要多少分钟？
- 同学们排队做操，每两个同学之间相距 \( 1.2 \) 米，这列队伍一共有 \( 15 \) 名同学，队伍从头到尾有多长？
第二关：奥数挑战（5道）
- 一座时钟 \( 7 \) 时整敲响 \( 7 \) 下，用时 \( 12 \) 秒。那么 \( 11 \) 时整敲响 \( 11 \) 下，需要多少秒？
- 一个圆形湖，周长是 \( 1800 \) 米。沿湖每隔 \( 9 \) 米种一棵杨树，再在相邻两棵杨树中间等距离地种 \( 2 \) 棵桃树。湖周围种了多少棵杨树？多少棵桃树？
- 马路的一侧从头到尾原有木电线杆 \( 86 \) 根，每相邻两根相距 \( 42 \) 米。现在计划全部换成水泥电线杆，每相邻两根相距 \( 70 \) 米，需要水泥电线杆多少根？
- 学校召开运动会前，在 \( 200 \) 米跑道四周每隔 \( 5 \) 米插一面彩旗。后来决定增加彩旗数量，每隔 \( 4 \) 米插一面，除了起点那面彩旗不动外，还有多少面彩旗不需要移动？
- 把一根钢管锯成 \( 6 \) 段需要 \( 30 \) 分钟，用同样的速度把它锯成 \( 12 \) 段，需要多少分钟？
第三关：生活应用（5道）
- 【AI训练】用于训练大模型的数据被分成多个连续的“数据块”。如果总共需要处理 \( 5000 \) 个数据块，每处理一个块需要建立 \( 1 \) 个“计算间隔”，整个处理过程一共建立了多少个“计算间隔”？
- 【航天测控】我国一个卫星测控站网络，在一条 \( 3600 \) 公里的测控弧段上设立观测点。如果保证每 \( 400 \) 公里至少有一个观测点（弧段两端必须设点），最少需要设立多少个观测点？
- 【物流仓储】一个大型智能仓库的环形传送带总长 \( 1.2 \) 公里。为了分拣货物，需要在传送带沿线安装感应器。如果每 \( 30 \) 米安装一个，一共需要安装多少个感应器？
- 【植树造林】在一条新修的公路一侧植树，公路全长 \( 8 \) 千米。规划起点和终点不植树（因为有交叉路口），每隔 \( 50 \) 米种一棵樟树。一共需要准备多少棵树苗？
- 【网络布线】在一栋大楼里布置光纤，从机房到最远端的房间，光纤总路径长 \( 150 \) 米。为了信号中继放大，需要在线上安装节点。如果每 \( 25 \) 米需要一个节点（机房和房间终端本身已内置节点，不需额外安装），那么一共需要加装多少个中继节点？
🤔 专家问答 FAQ
Q：这一章在考卷里通常占多少分？
A：植树问题本身作为单独应用题，通常占5-8分。但它的核心思想——“间隔模型”——会渗透到很多其他题型中，如敲钟、排队、锯木头、爬楼梯等，这些都是它的“变装”。掌握好它，能轻松拿下这类题的总计10-15分，属于“性价比”极高的考点。
Q：学好它对高中有什么帮助？
A：大有帮助！植树问题是培养你“数学模型”思想的绝佳起点。到了高中，你会学习“等差数列”，植树问题中的“点”就是数列的“项”， “间隔”就是“公差”。你现在通过画图理解的“段数”与“点数”的关系，就是在为将来理解“项数公式”打基础。这是一种重要的数学建模能力。
参考答案
第一关： 1. 9盆 2. 64棵 3. 14秒 4. 16分钟 5. 16.8米
第二关： 1. 20秒 2. 杨树200棵，桃树400棵 3. 52根 4. 9面 5. 66分钟
第三关： 1. 4999个 2. 10个 3. 40个 4. 158棵 5. 5个
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