阿星拆解：

1. 第一步：识别模型。 题目给出了梯形（AD//BC）和对角线交点O。这完全符合“梯形蝴蝶”的造型。
2. 第二步：找到翅膀。 蝴蝶的左右翅膀，就是被对角线分出来的、不挨着上下底的那两个三角形。也就是 \(\triangle AOD\)（左边）和 \(\triangle BOC\)（右边）。
3. 第三步：应用定理。 梯形蝴蝶定理的核心口诀就是“翅膀面积相等”。
4. 第四步：得出答案。 既然左翅膀（\(\triangle AOD\)）面积是 \(6 \text{ cm}^2\)，那么右翅膀（\(\triangle BOC\)）的面积也一定是 \(6 \text{ cm}^2\)。

所以，答案是：\(6 \text{ cm}^2\)。看，就是这么直接！

阿星敲黑板：

陷阱在哪里？ 坑就在单位上！\(\triangle DOC\)的面积给的是 \(3 \text{ m}^2\)（平方米），而其他条件和问题要求用的是 \(\text{dm}^2\)（平方分米）。如果你直接算，单位不统一，答案就错了。

如何化解？

1. 第一步：统一单位。 \(1 \text{ m}^2 = 100 \text{ dm}^2\)。所以 \(\triangle DOC\) 的面积 \(S_{DOC} = 3 \text{ m}^2 = 3 \times 100 = 300 \text{ dm}^2\)。
2. 第二步：识别部分。 在梯形蝴蝶中，\(\triangle AOB\) 和 \(\triangle DOC\) 是蝴蝶的“上半身”和“下半身”，它们不是翅膀。翅膀是 \(\triangle AOD\) 和 \(\triangle BOC\)。
3. 第三步：利用比例关系。 在梯形蝴蝶中，有一个重要结论：上半身面积 × 下半身面积 = 翅膀面积的平方。即 \(S_{AOB} \times S_{DOC} = (S_{AOD})^2 = (S_{BOC})^2\)。
4. 第四步：代入计算。
   
   \(S_{AOB} = 12\)， \(S_{DOC} = 300\)。
   
   所以，\(S_{\text{翅膀}}^2 = 12 \times 300 = 3600\)。
   
   那么 \(S_{\text{翅膀}} = \sqrt{3600} = 60 (\text{dm}^2)\)。

所以，蝴蝶的每只翅膀面积都是 \(60 \text{ dm}^2\)。记住，先统一单位再计算！

思维迁移：

这道题看起来复杂了，但场景没变！AD//BC，这就是一个梯形。对角线AC和BD相交，这就是一只标准的“梯形蝴蝶”。

1. 第一步：锁定原型。 识别出模型，我们就知道：① 翅膀相等 \(S_{AOD} = S_{BOC} = 8\)。② 上下两个大三角形面积比等于底边比。
2. 第二步：应用底边比。 以O为顶点的两个大三角形是\(\triangle ABC\)和\(\triangle DBC\)（或\(\triangle ABD\)和\(\triangle ACD\)），它们同高（梯形的高），所以面积比等于底边比。更常用的结论是：
   
   蝴蝶的“上身”(\(S_{AOB}\))和“下身”(\(S_{DOC}\))的面积比，等于梯形上底与下底的平方比。但这里我们直接用更基础的关系：
   
   因为AD//BC，所以 \(\triangle ABC\) 与 \(\triangle DBC\) 同底等高，面积相等。即 \(S_{ABC} = S_{DBC}\)。
   
   而 \(S_{ABC} = S_{AOB} + S_{BOC}\)， \(S_{DBC} = S_{DOC} + S_{BOC}\)。
   
   所以 \(S_{AOB} = S_{DOC}\)。
3. 第三步：用比例求解。 已知 \(AD:BC = 2:3\)。
   
   对于梯形，上下两部分三角形（\(\triangle AOD\)与\(\triangle BOC\)是翅膀，\(\triangle AOB\)与\(\triangle DOC\)是头尾）满足：\(S_{AOB} : S_{BOC} = AD : BC\)（因为它们分别以AO和CO为底时，高相等）。
   
   更准确的关系是：\(S_{AOB} : S_{BOC} = S_{AOD} : S_{DOC} = AD : BC\)。
   
   已知 \(S_{BOC} = S_{AOD} = 8\)， \(AD:BC=2:3\)。
   
   所以 \(S_{AOB} : 8 = 2 : 3\)。
   
   解得 \(S_{AOB} = 8 \times \frac{2}{3} = \frac{16}{3}\)。
4. 第四步：求比值。 题目要求 \(S_{BOC} : S_{AOB} = 8 : \frac{16}{3} = 8 \times \frac{3}{16} = \frac{3}{2}\)。
   
   所以，三角形BOC与三角形AOB的面积比是 \(3:2\)。

看，只要认出蝴蝶，复杂比例问题也能一步步拆解！