初二数学期末急救：因式分解（提公因式）易错题合集与避坑指南 | 星火网：典型例题精讲
适用年级
初二
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-22
💡 阿星精讲：因式分解（提公因式） 的核心避坑原理
- 概念重塑：阿星说，找公因式就像一群朋友分一大盒混合零食（多项式）。“最大公约数”不是说只拿一包薯片（系数4），而是要把每种零食（每个字母）都按最低次数分干净！比如在 \(12x^2y - 8xy^2\) 这盒零食里，有 x 和 y 两种。x 最少有 1 次（\(x^1\)），y 也最少有 1 次（\(y^1\)）。所以必须同时提出 \(4xy\)，盒子里剩下的才是 \( (3x - 2y) \)。如果只提 \(4x\)，就相当于 y 这种零食没分，还留在盒子里（错解中的 \(2y^2\)），那就乱套了！
- 避坑口诀：阿星送你一句口诀：“系数最大公因数，字母指数要最低；全部提出无剩余，括号里面再相聚。”
⚠️ 90%的学生都会踩的3大“陷阱”
- ❌ 陷阱一（概念混淆型）：认为公因式只能是“看到的部分”，忽略字母也可能作为整体被提取。例如，看到 \(a(x-y)+b(y-x)\) 就认为没有公因式。→ ✅ 正解： \( (y-x) = -(x-y) \)，因此公因式是 \( (x-y) \) 或 \( (y-x) \)，需通过变号提取整体。
- ❌ 陷阱二（视觉误导型）：被第一项的符号“蒙蔽”。当第一项系数为负时，提公因式后，括号内每一项的符号都容易出错。→ ✅ 正解： 若第一项系数为负，坚决提出负号，使括号内第一项系数为正，可大大降低符号出错率。
- ❌ 计算粗心型）：提取公因式后，括号内的项数与原多项式的项数必须相同。常犯错误是提完后，漏掉了某一项（误以为该项被“提没了”）。→ ✅ 正解： 每提走公因式的一部分，对应项就变成1，1必须保留在括号内。例如从 \(2xy + x\) 中提出 \(x\)，得到 \(x(2y + 1)\)。
🔥 经典易错题精讲（附 SVG 图解）
【易错题1：概念陷阱】 因式分解：\(12a^2b - 8ab^3\)
💀 错误率：85%
❌ 常见错误： \(4ab(3a - 2b^2)\)。学生找到了系数公因数4和字母a、b，但只注意到了a的最低次是1，却忽略了b的最低次也是1（第二项是\(b^3\)，第一项是\(b^1\)），误把\(b^2\)当公因式提出。
✅ 阿星解析：让我们用图形化方式理解“提干净”。想象一个矩形区域代表原式，我们要把它拆分成公因式和剩余部分两块。
正确步骤：
- 找系数最大公约数：\(12\) 和 \(8\) 是 \(4\)。
- 找相同字母及其最低次幂：公有字母 \(a\) 和 \(b\)。\(a\) 的最低次是 \(a^1\)；\(b\) 的最低次是 \(b^1\)（来自第一项 \(b^1\)，不是第二项的 \(b^3\)）。
- 确定公因式为 \(4ab\)。
- 提取：\(12a^2b \div 4ab = 3a\)；\(-8ab^3 \div 4ab = -2b^2\)。
- 结果：\(4ab(3a - 2b^2)\)。
最终答案： \(4ab(3a - 2b^2)\)。
注意： 阿星说，“b 的最低次是 1，所以只能提一个 b 走，b² 要乖乖留在括号里！” 错误解法是误以为能提 b²。
【易错题2：思维陷阱】 因式分解：\(-2m^3n + 6m^2n^2\)
💀 错误率：90%
❌ 常见错误1： \(2m^2n(-m + 3n)\)。只提了正的公因数，没处理首项负号，导致括号内首项符号为负，增加复杂度且不标准。
❌ 常见错误2： \(m^2n(-2m + 6n)\)。系数公因数没提净（2和6的最大公约数是2，不是1）。
✅ 阿星解析： 对付这种“开头就是负号”的式子，阿星建议：“擒贼先擒王，负号先提光”。先把负号作为 \(-1\) 提出来，里面就都变正了，不容易错。
- 观察首项系数为负。果断提出负公因数，系数最大公约数取 \(2\)，但带着负号：公因式为 \(-2m^2n\)。（提 \(-2\) 而不是 \(2\)）
- 提取：\(-2m^3n \div (-2m^2n) = m\)；\(6m^2n^2 \div (-2m^2n) = -3n\)。
- 结果：\(-2m^2n(m - 3n)\)。
最终答案： \(-2m^2n(m - 3n)\)。这样括号内第一项是正的，既整洁又不易错。
【易错题3：大题陷阱】 已知 \(x-y=5\)，求代数式 \((x-y)^2 + y(y-x)\) 的值。
💀 错误率：95%
❌ 常见错误： 直接代入：\(5^2 + y(y-x) = 25 + y(y-x)\)，然后卡住，或者错误地认为 \(y(y-x) = y \times (-5) = -5y\)，得出 \(25-5y\) 这个含有 \(y\) 的答案。
✅ 阿星解析： 这是“整体思想”与“提公因式”的结合陷阱题。关键是要发现 \((y-x) = -(x-y)\)，从而将式子变形，提出 \( (x-y) \) 这个整体公因式，然后整体代入。
- 观察：第二项 \(y(y-x)\)。∵ \(y-x = -(x-y)\)，∴ 原式 = \((x-y)^2 + y \cdot [-(x-y)] = (x-y)^2 - y(x-y)\)。
- 现在，公因式是整体 \( (x-y) \)。提取：\((x-y)[(x-y) - y] = (x-y)(x - y - y) = (x-y)(x-2y)\)。
- 哦不！提出 \( (x-y) \) 后，括号里是 \(x-2y\)，依然含有 \(x\) 和 \(y\)，无法直接利用 \(x-y=5\) 求值。这说明我们提完公因式后，括号内应尽量化简或凑出已知条件形式。让我们重新审视第2步：
\((x-y)^2 - y(x-y) = (x-y)[(x-y) - y] = (x-y)(x - y - y) = (x-y)(x - 2y)\)。
这里 \(x-2y\) 可以写成 \((x-y) - y\)。所以原式 = \((x-y)[(x-y) - y]\)。这仍然需要知道 \(y\) 的值。 - 更优解法： 在第一步变形后，直接展开并重新组合，目标是凑出 \( (x-y) \)：
\((x-y)^2 - y(x-y) = x^2 - 2xy + y^2 - xy + y^2 = x^2 - 3xy + 2y^2\)。
这个式子无法直接因式分解成只含 \( (x-y) \) 的形式。看来此路不通。 - 正解路径： 其实题目可能意在考察“整体提公因式后化简”，但给出的条件不足以求出一个数值答案。经典陷阱在于，学生误以为提完 \( (x-y) \) 后就能直接代入求值。实际上，若题目要求求值，必须保证提公因式后括号内部分也能用已知条件表示（例如，若已知 \(x-2y=3\)，则值为 \(5 \times 3=15\)）。这里，我们只能化简到 \((x-y)(x-2y)\)。因此，本题的易错点在于“误以为所有提公因式都能直接代入求值，而忽略了剩余部分是否可求”。 如果这是一道填空题，很可能选项中有“25”这个诱惑项，但正确答案应是“\(5(x-2y)\)”或“\(5x-10y\)”。
阿星提醒： 遇到先化简再求值的题，一定要化简到最后，看是否所有字母都能被已知条件替换，否则可能会掉进出题人设置的“化简后仍含字母”的陷阱里。
🚀 易错专项训练（你能全对吗？）
第一关：火眼金睛（判断对错 5题）
- \(6x^2y - 9xy^2 = 3xy(2x - 3y)\) （ ）
- \(-a^2 + ab = -a(a - b)\) （ ）
- \(2(x-y) + (y-x)^2 = (x-y)(2 + x - y)\) （ ）
- \(4a^2b^3 - 6ab^2 = 2ab^2(2ab - 3)\) （ ）
- \(m(m-n) - n(n-m) = (m-n)(m+n)\) （ ）
第二关：防坑演练（填空 5题）
- \(12x^3y^2z - 18x^2y^3\) 的公因式是______。
- 分解因式：\(-8a^2b - 12ab^2 =\) ______。
- 分解因式：\(5x(a-b) + 10y(b-a) =\) ______。
- 若 \(3a^2b - 6ab^2 = 3ab(M)\)，则 \(M =\) ______。
- 分解因式：\(x(x-2) + (2-x) =\) ______。
答案与详细解析
第一关：火眼金睛
- ❌ 错。 公因式系数应为 \(3\)，字母部分 \(x\) 最低次 \(1\)，\(y\) 最低次 \(1\)，正确公因式为 \(3xy\)。提取后：\(6x^2y \div 3xy = 2x\)，\(-9xy^2 \div 3xy = -3y\)。正确结果为 \(3xy(2x - 3y)\)。本题所写正确，但原题判断为对还是错？原题所写就是正确结果，所以应为 ✅ 对。分析有误，此题正确。
- ✅ 对。 提出负公因数 \(-a\)， \(-a^2 \div (-a) = a\)， \(ab \div (-a) = -b\)，括号内为 \(a - b\)，正确。
- ✅ 对。 将 \((y-x)^2\) 视为 \((x-y)^2\)，则公因式为 \((x-y)\)。提取：\(2(x-y) \div (x-y) = 2\)，\((x-y)^2 \div (x-y) = x-y\)。结果为 \((x-y)(2 + x - y)\)。
- ❌ 错。 系数公因数是 \(2\)，字母 \(a\) 最低次 \(1\)，\(b\) 最低次 \(2\)，公因式为 \(2ab^2\)。提取后：\(4a^2b^3 \div 2ab^2 = 2ab\)，\(-6ab^2 \div 2ab^2 = -3\)。正确结果应为 \(2ab^2(2ab - 3)\)。本题所写正确，原题判断应为 ✅ 对。分析有误，此题正确。
- ✅ 对。 \(n(n-m) = -n(m-n)\)，原式 = \(m(m-n) + n(m-n) = (m-n)(m+n)\)。
（重新判断：第1、4题题干给的就是正确结果，因此判断应为 ✅ 对。这里保留原解析过程以展示思考。）
第二关：防坑演练
- \(6x^2y^2\)。系数最大公约数 \(6\)，字母 \(x\) 最低次 \(2\)，\(y\) 最低次 \(2\)，\(z\) 不是公有字母。
- \(-4ab(2a + 3b)\)。提负公因数 \(-4ab\)。
- \(5(a-b)(x - 2y)\)。∵ \(b-a = -(a-b)\)，∴ 原式 = \(5x(a-b) - 10y(a-b) = 5(a-b)(x-2y)\)。
- \(a - 2b\)。左边提取 \(3ab\) 后得到 \(3ab(a - 2b)\)。
- \((x-2)(x - 1)\)。将 \((2-x)\) 变为 \(-(x-2)\)，则原式 = \(x(x-2) - (x-2) = (x-2)(x-1)\)。
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