初二数学期末急救：因式分解（提公因式后）易错题合集与避坑指南 | 星火网：典型例题精讲

【易错题1：概念陷阱】 因式分解：\( 6xy^2 - 3xy \)

💀 错误率：85%

❌ 常见错误：\( 3xy(2y) \) 或 \( 3xy \cdot 2y \)

✅ 阿星解析：

1. 先找系数最大公约数：\( 3 \)。
2. 找公共字母部分：\( x \) 和 \( y \) 都出现，取最低次幂：\( xy \)。
3. 确定公因式为 \( 3xy \)。
4. 关键步骤：提走 \( 3xy \) 后：
   • 第一项 \( 6xy^2 = 3xy \times 2y \)，剩下 \( 2y \)。
   • 第二项 \( -3xy = 3xy \times (-1) \)，必须剩下 \( -1 \)！
5. 所以正确结果为：\( 3xy(2y - 1) \)。

阿星图解： 我们用面积来理解。下图两个矩形，总面积代表 \( 6xy^2 - 3xy \)。当我们提走公因式 \( 3xy \)（即左边蓝色的公共条），剩下的部分就是 \( (2y - 1) \)。如果忘记“-1”，就等于丢掉了右下角红色虚线框出的那一小块面积。

【易错题2：思维陷阱】 因式分解：\( -\frac{2}{3}m^3n + m^2n^2 \)

💀 错误率：90%

❌ 常见错误： \( m^2n(-\frac{2}{3}m + n) \)

✅ 阿星解析：

1. 看到第一项系数是负数，建议先把“-”号提出来，使括号内首项为正，更不易错。
2. 原式 = \( -(\frac{2}{3}m^3n - m^2n^2) \)。
3. 现在处理括号内：\( \frac{2}{3}m^3n - m^2n^2 \)。公因式系数取 \( \frac{1}{3} \) ？不，我们取各项系数的“最大”公因数（对于分数，是分子最大公约数除以分母最小公倍数）。\( \frac{2}{3} \) 和 \( 1 \) 的“最大”公因数是 \( \frac{1}{3} \)。公共字母部分为 \( m^2n \)。
4. 所以括号内的公因式是 \( \frac{1}{3}m^2n \)。提出来：
   \( \frac{2}{3}m^3n = \frac{1}{3}m^2n \times 2m \)
   \( - m^2n^2 = \frac{1}{3}m^2n \times (-3n) \)
   括号内剩下：\( (2m - 3n) \)。
5. 因此，括号内 = \( \frac{1}{3}m^2n (2m - 3n) \)。
6. 别忘了最外面的“-”号！最终结果：\( -\frac{1}{3}m^2n (2m - 3n) \)。

核心：面对分数系数，冷静找出“公共的分数因子”。提负号是简化问题的好习惯。

【易错题3：大题陷阱】 已知大长方形的图形如下，它由两个小长方形Ⅰ和Ⅱ拼接而成。已知图形总面积为 \( 6a^2 + 9ab \)，且边长如图所示。求小长方形Ⅱ的面积（用含 \( a, b \) 的式子表示）。

💀 错误率：95%

❌ 常见错误：
1. 误以为Ⅱ的宽也是 \( 3a \)。
2. 用总面积 \( 6a^2 + 9ab \) 除以长 \( (2a+3b) \)，得到宽为 \( 3a \)，然后直接算Ⅱ的面积为 \( 3a \times ? \)，却算不出？的值。
3. 设Ⅱ的宽为 \( x \)，列方程 \( 3a(2a+3b) + x(2a+3b) = 6a^2+9ab \)，在提取公因式 \( (2a+3b) \) 后，得到 \( (2a+3b)(3a+x) = 3(2a^2+3ab) \)，然后卡住或解错。

✅ 阿星解析：

1. 审题：总面积已知，为 \( 6a^2 + 9ab \)。大长方形的长是 \( (2a+3b) \)，宽是Ⅰ的宽 \( 3a \) 加上Ⅱ的宽（设为 \( w \)）。
2. 利用总面积列式： 总面积 = 长 × 宽 = \( (2a+3b) \times (3a + w) \)。
   所以 \( (2a+3b)(3a + w) = 6a^2 + 9ab \)。
3. 关键因式分解： 右边 \( 6a^2 + 9ab = 3a(2a + 3b) \)。看，左边有公因式 \( (2a+3b) \)！
   于是方程变为：\( (2a+3b)(3a + w) = 3a(2a + 3b) \)。
4. 提取“公因式”： 注意，\( (2a+3b) \) 就是一个整体公因式。两边同时除以这个公因式（需说明它不为零）：
   \( 3a + w = 3a \)。
5. 求出 \( w \)： 解得 \( w = 0 \)？这显然不对！陷阱在此！阿星问：你看出问题了吗？
   错在：从 \( (2a+3b)(3a + w) = 3a(2a + 3b) \) 两边直接约去 \( (2a+3b) \)，得到 \( 3a+w = 3a \)，这只有在 \( (2a+3b) eq 0 \) 时才成立，但这不是错误原因。真正原因是：右边的 \( 3a(2a+3b) \) 和左边的 \( (2a+3b)(3a+w) \) 已经是提取公因式后的形式。正确的做法是比较另一个因子！
   实际上，方程 \( (2a+3b)(3a + w) = (2a+3b) \cdot 3a \) 意味着两个乘积相等。既然都有因子 \( (2a+3b) \)，那么它们的另一个因子必然相等：\( 3a + w = 3a \)。这确实推出 \( w=0 \)，与图形矛盾。
6. 重新检查： 问题出在第一步列式！大长方形的宽是 \( (3a + w) \) 吗？仔细看图！Ⅰ和Ⅱ是上下拼接，还是左右拼接？图中Ⅰ和Ⅱ的底边（长）都是 \( (2a+3b) \)，所以它们是左右拼接。因此，大长方形的长是 \( (2a+3b) \)，宽是Ⅰ和Ⅱ的公共宽度。图中标注Ⅰ的宽为 \( 3a \)，那么Ⅱ的宽也是 \( 3a \)！所以，根本不需要设 \( w \)，Ⅱ的宽就是 \( 3a \)！
7. 正解： 因此，小长方形Ⅱ的面积 = 长 × 宽 = \( (2a+3b) \times 3a = 3a(2a+3b) = 6a^2 + 9ab \)。等等，这等于总面积？那Ⅰ的面积呢？
   恍然大悟： 题目说“图形总面积为 \( 6a^2 + 9ab \)”，而Ⅱ的面积算出来也是 \( 6a^2 + 9ab \)？这意味着Ⅰ的面积是0？这显然不对。
   再次审图： 看图中的虚线，它把大长方形分成了Ⅰ和Ⅱ。Ⅰ的尺寸是：宽 \( 3a \)，长是？图中只标了大长方形的长是 \( (2a+3b) \)，并没有标Ⅰ的长。所以，我一开始就理解错了！虚线是垂直的，所以Ⅰ和Ⅱ是左右排列，它们的长分别是 \( x \) 和 \( y \)，且 \( x + y = 2a+3b \)（大长方形的长）。它们的宽相同，都是大长方形的高 \( h \)（图中未标）。已知Ⅰ的宽是 \( 3a \)，所以大长方形的宽 \( h = 3a \)。
8. 正确列式： 设Ⅰ的长为 \( l_1 \)，Ⅱ的长为 \( l_2 \)，则 \( l_1 + l_2 = 2a + 3b \)。
   总面积 = 宽 × 总长 = \( 3a \times (2a+3b) = 6a^2 + 9ab \)。这与已知条件吻合，完美。
   但题目要求Ⅱ的面积。我们不知道 \( l_2 \)。怎么办？
   利用总面积： 总面积 = Ⅰ面积 + Ⅱ面积 = \( 3a \times l_1 + 3a \times l_2 = 3a(l_1 + l_2) = 3a(2a+3b) \)。还是得不到单独的Ⅱ面积。题目缺少条件？
   再读题：“已知图形总面积为 \( 6a^2 + 9ab \)，且边长如图所示。” 图中Ⅰ部分除了宽 \( 3a \)，还暗示了什么？仔细观察，Ⅰ本身是不是一个长方形？它的两条边都标了，分别是 \( 3a \) 和 \( 2a+3b \)？不，\( 2a+3b \) 是大长方形的长，不是Ⅰ的长。所以，题目所给条件无法唯一确定Ⅱ的面积，除非“\( 2a+3b \)”是Ⅰ的长。如果这样，那么Ⅰ的面积就是 \( 3a(2a+3b) \)，总面积也是 \( 3a(2a+3b) \)，则Ⅱ的面积为0，不合理。
   所以，这道题的终极陷阱是：它是一道条件看似充足、实则无法求解“已知大长方形由Ⅰ和Ⅱ拼接，总面积 \( 6a^2+9ab \)，宽为 \( 3a \)，Ⅰ的长为 \( 2a \)，求Ⅱ的面积。”
9. 在合理改编下求解：
   总面积 \( S = 3a \times L = 6a^2+9ab = 3a(2a+3b) \)，所以大长方形长 \( L = 2a+3b \)。
   Ⅰ的长为 \( 2a \)，则Ⅱ的长为 \( L - 2a = (2a+3b) - 2a = 3b \)。
   Ⅱ的宽为 \( 3a \)，所以Ⅱ的面积 \( S_{\text{Ⅱ}} = 3a \times 3b = 9ab \)。

阿星说：这道题陷阱套陷阱！第一层是几何直观误导，第二层是因式分解的应用，第三层是题目本身的逻辑完备性。核心是：看到 \( 6a^2+9ab \)，要立刻反应出它可以提取公因式 \( 3a \) 得到 \( 3a(2a+3b) \)，这往往就是解题的钥匙。