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三视图顶面一看就懂:像“打地基”一样简单的解题秘籍(附三级挑战):典型例题精讲

适用年级

几何

难度等级

⭐⭐⭐

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最近更新

2025-12-20

三视图顶面解题指南:从“打地基”开始,小白也能成高手!

💡 阿星起步:三视图顶面 的底层逻辑

想象一下,你要用乐高积木搭一个城堡。在动手之前,你最先要确定什么?当然是这个城堡要占多大一块地

三视图里的俯视图,干的正是这个活儿。它就是那个帮你“打地基”的蓝图。

当我们从正上方垂直往下看一个立体图形时,看到的那个平面形状,就是俯视图。它告诉了我们两件最关键的事:

1. 这个立体图形在“地面”上,占了哪些位置(就像积木的底座覆盖了哪些格子)。

2. 这个底座的基本轮廓是什么形状(是长方形、L形,还是更复杂的形状)。

所以,它的本质是什么?俯视图就是立体图形在水平面上的“影子”或“投影”,它定义了整个图形的底层布局和占地面积。看懂俯视图,是还原这个立体图形绝对的第一步。没有坚实、准确的地基,上面的楼层(主视图、左视图)就无从谈起。

🔥 三级跳挑战:从入门到大神

【入门例题】一个由小立方体堆成的立体图形,它的俯视图如下图所示。每个小格子代表一个小立方体的位置。请问,这个立体图形至少由多少个小立方体组成?(俯视图:一个“田”字形,即2行2列共4个格子,每个格子里都标有数字1。)

1 | 1
---
1 | 1

🌱

阿星拆解:

第一步:看懂“地基图”
这个俯视图是一个“田”字格,有4个位置。图上每个格子里的数字“1”是什么意思?它代表在这个位置的地基上,至少摞了1层高的积木。

第二步:根据“地基”搭积木
既然每个位置都至少需要1层高,那么我们就需要在每个位置上放1个小立方体。

第三步:计算最少用量
一共有4个位置。
所需最少小立方体数 = 位置1的层数 + 位置2的层数 + 位置3的层数 + 位置4的层数
= \(1 + 1 + 1 + 1\)
= \(4\) (个)

所以,这个立体图形至少由4个小立方体组成。

【进阶例题】一个立体图形的俯视图如下,图中的数字表示在这个位置上,小立方体的最高层数。请问,搭成这个图形,最少需要多少个小立方体?

2 | 1
---
1 | 3

⚠️

阿星敲黑板:

陷阱警告! 这里最大的坑是:你以为“最少”就是直接把所有数字加起来吗?不对! 俯视图只告诉了我们每个位置上“最高能有多高”,但其他视图(主视、左视)可能会要求某些位置不能那么高,才能保证从前面或左边看符合要求。但本题只给了俯视图,所以“最少”的方案,就是相信俯视图的数字,让每个位置都达到它标注的最高层数吗?

慢着!再想想“最少”的原则。 要“最少”,就是每个位置都只满足它自己的最低要求。这里的数字“2”、“1”、“1”、“3”就是最低要求,因为如果某个位置低于这个数,它的高度就不够,从正上方看这个位置的“层数影子”就会小于标注的数字,俯视图就对不上了。所以,在仅已知俯视图时,要保证从上方看数字正确,每个位置的小立方体数量不能少于标注的数字。

化解之道: 因此,要使用最少的小立方体,我们就让每个位置刚刚好达到它标注的数字。

计算过程:
左上角位置:需要 \(2\) 层 → 放 \(2\) 个
右上角位置:需要 \(1\) 层 → 放 \(1\) 个
左下角位置:需要 \(1\) 层 → 放 \(1\) 个
右下角位置:需要 \(3\) 层 → 放 \(3\) 个
最少总数量 = \(2 + 1 + 1 + 3 = 7\) (个)

核心: 俯视图上的数字,是那个位置小立方体数量的下限(至少要有这么多)。

【拔高例题】一个立体图形由小立方体搭成,它的主视图左视图如下图所示。请问,满足这两个视图的立体图形,它的俯视图可能有多少种不同的“地基”形状(只考虑占地位置,不考虑每格具体层数)?

主视图:□□
左视图:□
(口代表正方形)

(解释:主视图是2列,左视图是2行。这意味着立体图形从前面看有2列,从左面看有2行。)

🚀

思维迁移:

看,题目好像没直接提“俯视图”,但问的正是“俯视图的可能形状”。这考验的是你对三视图之间联系的理解。

第一步:回归“打地基”思维。 俯视图是地基。主视图(从前面看)告诉我们这个立体图形在前后方向上有几列。本题主视图是2个小正方形,说明有2列

第二步:左视图补充信息。 左视图(从左面看)告诉我们这个立体图形在左右方向上有几行。本题左视图是2个小正方形,说明有2行

第三步:画出地基的“最大可能范围”。 有2列、2行,那么它的俯视图(地基)最多就是一个2行2列的“田”字格(4个可能的位置)。

第四步:确定可能的地基形状。 但是,这4个位置是不是都必须有积木呢?不一定!只要保证从前面看2列都有积木(每列至少有一个位置有),从左面看2行都有积木(每行至少有一个位置有),就能满足主视图和左视图。那么,哪些“地基”形状能满足这个条件?

我们来列举所有可能的占地情况(■表示有积木,空白表示没有):

1. 4个全占:
■ ■
■ ■

2. 占3个:
■ ■ ■ ■ ■    ■
■   ■  ■ ■  ■ ■

3. 占2个(必须满足每行每列都有):
■    ■
 ■  ■  (只有这两种对角线的形式能满足)

数一数:1种(4格)+ 4种(3格)+ 2种(2格对角)= 7种不同的地基形状。

瞧,虽然题目穿上了“已知主视、左视求俯视可能”的马甲,但核心任务依然是分析“地基”——俯视图的形状和布局。“打地基”的逻辑始终没变!

📝 阿星必背口诀:

俯视如地基,占地先画齐。
数字是底线,最少按它计。
三视要联动,行列信息提。
抓住俯视图,立体不迷离!

🚀 举一反三:变式挑战

变式一:模仿练习

俯视图如下,数字表示该位置小立方体的最高层数。这个图形最少由几个小立方体组成?
3 | 1
---
2 | 1

变式二:逆向思维

已知一个立体图形最少由6个小立方体搭成,其俯视图是一个“田”字格(2行2列)。其中三个位置的数字(最高层数)已知为2, 1, 1,请问第四个位置的数字至少是多少?

变式三:综合挑战

一个立体图形的主视图是3列,左视图是2行。在保证使用小立方体总数最少的前提下,它的俯视图(地基)可能有多少种不同的形状?并求出每种形状对应的最少小立方体总数。


解析与答案

【详尽解析】

入门例题答案: 4个。

进阶例题答案: 7个。

拔高例题答案: 7种。

举一反三解析:
变式一答案: \(3 + 1 + 2 + 1 = 7\) (个)。
变式二答案: 设四个位置数字为 \(a, b, c, d\),已知三个为2, 1, 1。最少总数6,即 \(a+b+c+d=6\)。代入,设 \(a=2, b=1, c=1\),则 \(d = 6 - (2+1+1) = 2\)。所以第四个位置数字至少是2。
变式三核心提示: 俯视图最大范围是3列2行,共6个可能位置。要“总数最少”,需保证每列每行至少有一个位置有1个立方体。从满足条件的最简单形状(如只有2个立方体,放在不同行不同列)开始列举,并计算每种形状下,为满足“主视3列、左视2行”视野内看到的高度,所需的最少立方体总数。这是一个经典的“已知主视、左视,求最少立方体数及俯视图形状”问题,答案不唯一,但方法是确定的。

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