临界点上的“空气舞会”：热力学相变举一反三深度攻略：典型例题精讲

💡 阿星精讲：热力学的本质

想象一下，热力学是一场盛大的空气“舞会”。其中的水蒸气分子就像热情的舞者，而饱和蒸气压 \( p_{\text{sat}} \) 就是舞池的容量上限。温度 \( T \) 越高，舞池容量越大，能容纳的“舞者”就越多，这就是为什么热空气“湿度高”但可能感觉干燥。相变的临界点，就是当冷空气（小舞池）和热空气（满载的大舞池）突然混合时，总人数没变，但平均舞池容量骤减，导致局部“水蒸气分压 \( p_{\text{H2O}} \) ”瞬间超过新的、更低的饱和点 \( p_{\text{sat}}(T_{\text{新}}) \)。多余的水分子不得不“退出舞池”，聚合成雾或露珠，这就是凝结。克劳修斯-克拉佩龙方程 \(\frac{dp_{\text{sat}}}{dT} = \frac{L}{T \Delta v}\) 正是描述这个“舞池容量”（饱和蒸气压）随温度变化快慢的数学法则，潜热 \( L \) 越大，变化越快，凝结现象就越“戏剧化”。

🔥 经典例题精析

🚀 举一反三：变式挑战

答案与解析

经典例题答案： 不会凝结。露点温度约 \( 17.6^\circ \text{C} \)。

变式一解析： 水蒸气分压 \( p_{\text{混合}} \) 不变，但饱和蒸气压 \( p_{\text{sat}}(T) \) 几乎不受总压影响（主要取决于温度）。因此，在高原低压下，相对湿度 \( \phi_{\text{混合}} = p_{\text{混合}} / p_{\text{sat}}(T_{\text{混合}}) \) 不变，凝结的难易程度（比较 \( p_{\text{混合}} \) 与 \( p_{\text{sat}} \) ）也几乎不变。关键在于理解饱和蒸气压是温度的属性。

变式二解析： 设热空气初始分压为 \( p_{\text{热}} \)。混合后水蒸气分压为加权平均：\( p_{\text{混合}} = (2p_{\text{热}} + 1 \times 0.87) / 3 \)。混合温度近似为 \( T_{\text{混合}} = (2 \times 25 + 1 \times 5)/3 \approx 18.33^\circ \text{C} \)，取 \( p_{\text{sat}}(18.33) \approx 2.10 \text{kPa} \)（内插估算）。由临界条件 \( p_{\text{混合}} = p_{\text{sat}}(T_{\text{混合}}) \) 得方程：\( (2p_{\text{热}} + 0.87)/3 = 2.10 \)。解得 \( p_{\text{热}} \approx 2.715 \text{kPa} \)。故 \( \phi_{\text{热}} = p_{\text{热}} / p_{\text{sat}}(25) = 2.715 / 3.17 \approx 85.6\% \)。

变式三解析： 设初始热空气质量 \( m_h \)，冷空气质量 \( m_c \)，比热容 \( c_p \)。混合过程满足：
1. 水物质守恒： \( m_h \omega_h + m_c \omega_c = m_{\text{气}} \omega_f + m_{\text{液}} \)，其中 \( \omega \) 是比湿（水蒸气质量分数），\( m_{\text{液}} \) 为凝结水量。
2. 能量守恒： \( m_h c_p T_h + m_c c_p T_c = (m_h+m_c) c_p T_f + m_{\text{液}} L \)，L 为凝结潜热。
3. 相平衡条件： 最终气相为饱和状态，即 \( p_{\text{sat}}(T_f) = \omega_f p_{\text{总}} / (0.622 + \omega_f) \)（由理想气体关系推导）。
三个方程联立，可解出三个未知数 \( T_f, \omega_f, m_{\text{液}} \)。这体现了热力学第一、第二定律在相变问题中的综合应用。