免费的代价：一份看得见的“账单”，一种看不见的“交换”

💡 阿星精讲：免费的代价 的本质

同学们，欢迎来到阿星的“经济奇趣课堂”！今天，我们不谈枯燥的公式，来聊聊你每天都在经历的“交易”——你以为的免费，真的免费吗？想象一下，一家蛋糕店告诉你：“新鲜蛋糕免费品尝！”条件是：留下你的姓名、生日、联系方式，并观看一段 \( t \) 分钟的广告。

在这里，“零价格”就是那块蛋糕，散发着诱人的魔力。但你付出的 \( P \) (隐私)、\( A \) (注意力) 和 \( T \) (时间)，就是一份“隐形账单”。在数学世界里，我们可以建立一个“价值守恒”模型：\( V_{\text{获取}} = C_{\text{支付}} \)。你以为的免费品价值 \( V_{\text{获取}} \)，总是等于你支付的各种成本 \( C_{\text{支付}} \) 的总和，即 \( V_{\text{免费品}} = P + kA + mT \)（其中 \( k, m \) 是转换系数）。我们的任务，就是学会用数学的眼光，算清这笔“隐形账”！

🔥 经典例题精析

🚀 举一反三：变式挑战

答案与解析

经典例题答案：
第一问：\( C = 20H + P \)
第二问：\( 6 \) 小时

举一反三解析：

变式一：
1. 当 \( M \leq 20 \) 时，仅使用基础免费空间，无需额外成本，\( C = 0 \)。
2. 当 \( M > 20 \) 时，超出部分为 \( (M - 20) \) GB。
- 若全部通过邀请获得，需邀请人数为 \( \frac{M-20}{5} \)，则 \( C = S \cdot \frac{M-20}{5} \)。
- 若全部通过支付隐私成本购买，需购买包数为 \( \lceil \frac{M-20}{5} \rceil \)，则 \( C = 10 \times \lceil \frac{M-20}{5} \rceil \)。
- 题目要求建立函数关系，通常指第一种理想化情况：\( C = \frac{S}{5}(M - 20) \)，其中 \( M > 20 \)。

变式二：
1. 玩家支付的成本：时间成本 = \( 100 \) 分钟 = \( \frac{100}{60} \) 小时。将其货币化：\( \frac{100}{60} \times 30 = 50 \) 元。
2. 玩家获得的收益：道具价值 \( 60 \) 元。
3. 净收益 = \( 60 - 50 = 10 \) 元。
所以，他每周“净赚” \( 10 \) 元。但注意，这是将时间强行货币化的结果，忽略了体验等因素。

变式三：
1. 计算非会员成本 \( C_1 \)：
已知 \( T_v = 90 \)， 则广告时间 \( T_a = 0.05 \times 90 + 2 = 6.5 \) 分钟。
总时间成本 = 观看时间 + 广告时间 = \( 90 + 6.5 = 96.5 \) 分钟（此处将时间本身视作成本单位）。
加上隐私成本：\( C_1 = 96.5 + 15 = 111.5 \) 单位。
2. 计算会员成本 \( C_2 \)：
金钱成本为 \( 30 \) 元。为了比较，我们需要一个统一量纲。假设我们将时间成本也货币化，设用户单位时间价值为 \( k \) 元/分钟。则非会员总成本（货币化）= \( 96.5k + 15\beta \)（\( \beta \)是隐私的货币换算系数）。会员总成本 = \( 90k + 30 \)。
题目中未给出 \( k \) 和 \( \beta \)，因此直接比较 \( 111.5 \) 单位（非会员）和 \( 30 \) 元（会员）是不同量纲的。
更合理的模型比较是：若用户非常看重时间和隐私，认为 \( 111.5 \) 单位综合成本 > \( 30 \) 元，则选择会员划算；反之则认为免费划算。本题旨在引导学生思考成本量纲的统一与比较是此类问题的关键和难点。