别瞎凑单了！数学家用1个模型+3道变式题，教你“外卖薅羊毛”终极心法 | 星火思维：典型例题精讲
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2025-12-19
外卖省钱攻略的数学建模与优化
💡 阿星精讲：外卖省钱攻略 的本质
想象一下，你点外卖就像在玩一个「资源配置与边界优化」的即时战略游戏。你的目标是用最少的金币（实际支付 \( P \) ）获得最多的资源（心仪的美食）。游戏里有几个关键规则：
1. 起送费 (\( S_0 \))： 这是你必须攻占的第一个据点。如果你的初始兵力（菜品总价 \( x \) ）达不到这个值，你连出战（下单）的资格都没有。
2. 满减券 (\( M \))： 这是战场上的“空投补给”。它有一个触发条件（满 \( m \) 元），和一个补给量（减 \( d \) 元）。你的目标就是让部队规模（\( x \) ）刚刚好触发它，又不浪费过多兵力。
3. 配送费 (\( F \))： 这是固定的行军成本。无论你派1个兵还是100个兵，这笔路费都得花。
因此，我们的「凑单策略模型」核心是求解最优解：在满足 \( x \geq S_0 \) 的前提下，调整 \( x \) 的值，使得最终实际支付 \( P = x - \lfloor \frac{x}{m} \rfloor \times d + F \)（假设每满 \( m \) 减 \( d \) ）最小化，同时让单位美食的均价 \( \frac{P}{x} \) 尽可能低。这不是乱“薅”，而是基于不等式和函数最值的精确计算。
🔥 经典例题精析
题目：你想点一份价格为 \( 25 \) 元的麻辣香锅。店铺规则：起送费 \( S_0 = 20 \) 元，配送费 \( F = 5 \) 元。有一张「满 \( 39 \) 减 \( 15 \)」的店铺券。请问，你是直接单点这份香锅最省钱，还是需要凑单？如果凑单，如何规划能使实际支付最低？
阿星拆解：让我们化身指挥官，分析战局！
第一步：评估单点可行性及成本。
单点菜品价 \( x_1 = 25 \)。检查是否满足起送费：\( 25 \geq 20 \)，✅ 通过。
检查是否触发满减：\( 25 < 39 \)，❌ 无法触发。
因此，单点实际支付 \( P_1 = x_1 + F = 25 + 5 = 30 \) 元。
第二步：设计凑单策略，激活“空投补给”（满减券）。
我们需要让总菜品价 \( x_2 \geq 39 \) 元。已有香锅 \( 25 \) 元，还需至少凑 \( 39 - 25 = 14 \) 元。
但作为精明的指挥官，我们绝不“为了凑而凑”。我们的目标是：让激活满减后的净菜价增长，低于我们凑单的支出。
设凑单金额为 \( t \) 元，则总菜品价 \( x_2 = 25 + t \)。
激活满减后，菜品优惠价为 \( x_2 - 15 \)。
凑单带来的额外净成本 = (优惠后总价) - (香锅原价) = \( (x_2 - 15) - 25 = t - 15 \)。
我们希望这个额外净成本为负数才划算，即 \( t - 15 < 0 \) ⇒ \( t < 15 \)。
同时，为了触发满减，必须满足 \( t \geq 14 \)。
联立得：\( 14 \leq t < 15 \)。这意味着，只要我们凑单的金额 \( t \) 在这个区间内，我们不仅白嫖了凑来的商品，还让香锅本身更便宜了！
第三步：寻找最优解。
在 \( t \in [14, 15) \) 区间内，\( t \) 越小，我们额外付的钱越少。因此最优解是 \( t = 14 \) 元。
此时总菜品价 \( x_2 = 25 + 14 = 39 \) 元，恰好触发满减。
实际支付 \( P_2 = (39 - 15) + F = 24 + 5 = 29 \) 元。
第四步：决策。
对比 \( P_1 = 30 \) 元，\( P_2 = 29 \) 元。凑单策略胜出！我们节省了 \( 1 \) 元，并且额外获得了一份 \( 14 \) 元的商品（如饮料、小食）。
口诀：
“满减凑到门槛边，配送起送要周全，单价压低是真谛，精打细算省大钱。”
🚀 举一反三：变式挑战
某奶茶店起送费 \( 15 \) 元，配送费 \( 3 \) 元，有「满 \( 30 \) 减 \( 8 \)」券。你心仪的奶茶价格是 \( 18 \) 元。请问是否值得为使用优惠券而凑单？最优凑单方案下的实际支付和“等效奶茶单价”（实际支付/奶茶原价）是多少？
在某次外卖订单中，你使用了一张「满 \( 50 \) 减 \( 20 \) 」的券，并支付了 \( 9 \) 元配送费。订单完成后，你发现实际支付总额为 \( 49 \) 元。在不考虑打包费的情况下，请问你订单的菜品原价总额至少是多少元？
你和两位室友想一起点外卖。店铺A：人均餐品约 \( 25 \) 元，起送费 \( 60 \) 元，配送费 \( 6 \) 元，有「满 \( 100 \) 减 \( 35 \)」神券。店铺B：同类餐品人均 \( 28 \) 元，起送费 \( 40 \) 元，免配送费，有「满 \( 80 \) 减 \( 25 \)」券。假设三人必须点同店，且餐品价格固定。作为组长，请你从总支出最小化和人均支出最小化两个角度，建立数学模型并给出决策。
答案与解析
经典例题答案： 凑单更省钱。最优方案为凑单 \( 14 \) 元商品，使总菜品价恰为 \( 39 \) 元，实际支付 \( 29 \) 元。
变式一解析：
1. 单点成本： \( P_1 = 18 + 3 = 21 \) 元。
2. 凑单分析： 需凑至 \( 30 \) 元，至少凑 \( t = 30 - 18 = 12 \) 元。凑单后额外净成本为 \( t - 8 \)。令其 \( < 0 \) 得 \( t < 8 \)。但 \( t \geq 12 \)，无解。说明无论如何凑单，额外净成本都为非负（\( t - 8 \geq 4 \)）。
3. 计算最小支付： 取 \( t = 12 \)，总价 \( 30 \) 元，支付 \( P_2 = (30-8) + 3 = 25 \) 元。对比 \( P_1 = 21 \) 元，单点更划算。
4. 等效单价： 单点时等效单价为 \( 21 / 18 \approx 1.17 \)（即每元原价需付 \( 1.17 \) 元）。凑单时，虽然总支付 \( 25 \) 元，但获得了 \( 30 \) 元商品，等效奶茶单价为 \( 25 / 18 \approx 1.39 \)，反而更高。
✅ 结论： 不值得凑单，直接单点支付 \( 21 \) 元最省。
变式二解析：
设菜品原价为 \( x \) 元。实际支付公式为：\( P = (x - 20) + 9 = 49 \)（因为满 \( 50 \) 减 \( 20 \)，默认 \( x \geq 50 \)）。
解方程：\( x - 11 = 49 \) ⇒ \( x = 60 \) 元。
✅ 结论： 菜品原价总额至少为 \( 60 \) 元（恰好满足满减门槛，且是唯一解）。
变式三解析：
模型建立：
记店铺A人均餐品价 \( p_A = 25 \)，店铺B \( p_B = 28 \)。三人总原价：\( X_A = 3 \times 25 = 75 \)，\( X_B = 3 \times 28 = 84 \)。
对于店铺A： 总原价 \( 75 \) 元，已超起送费 \( 60 \) 元，但未触发满 \( 100 \) 减 \( 35 \) 券。
方案1（不凑满减）：支付 \( P_{A1} = 75 + 6 = 81 \) 元。
方案2（凑满减）：需凑至 \( 100 \) 元，至少凑 \( 100 - 75 = 25 \) 元。此时支付 \( P_{A2} = (100 - 35) + 6 = 71 \) 元。显然 \( P_{A2} < P_{A1} \)。故店铺A最优支付 \( P_A^* = 71 \) 元，需总消费 \( 100 \) 元商品。
对于店铺B： 总原价 \( 84 \) 元，已超起送费 \( 40 \) 元，且已触发满 \( 80 \) 减 \( 25 \) 券。
最优支付 \( P_B^* = (84 - 25) + 0 = 59 \) 元。
决策分析：
1. 总支出最小化： 比较 \( P_A^* = 71 \) 元 与 \( P_B^* = 59 \) 元，选择店铺B，总支出 \( 59 \) 元。
2. 人均支出最小化： 店铺A人均 \( 71 / 3 \approx 23.67 \) 元，店铺B人均 \( 59 / 3 \approx 19.67 \) 元。仍是店铺B更优。
✅ 结论： 无论从总支出还是人均支出，都应选择店铺B，三人总支付 \( 59 \) 元，人均约 \( 19.67 \) 元，比店铺A节省约 \( 12 \) 元。
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