雨刷划过就懂！「扫掠面积」零基础直达大神指南：典型例题精讲
适用年级
五年级
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⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-20
雨刷划过留痕迹，一学就会的「扫掠面积」解题秘籍
💡 阿星起步：扫掠面积 的底层逻辑
想象一下下雨天，你坐在车里，看着雨刷“唰”地一下扫过前挡风玻璃。它扫过的那个半圆形区域，是不是很像一把缓缓打开的扇子？
我们今天要学的「扫掠面积」，就是算清楚这把“扇子”到底有多大。不过，雨刷可不是从圆心开始扫的，它的固定点（雨刷臂的根部）就像扇子的“手柄”，而雨刷条的长度就是扇子的“半径”。但手柄本身也有长度呀！所以，雨刷真正扫过的形状，其实是一把大扇子的面积，减去被手柄“挡住”的那把小扇子的面积，剩下的一圈“扇环”，才是我们看到的清洁区域。
它的本质就是：当一个线段（比如雨刷）绕着一个固定点旋转时，它所“涂抹”过的区域面积。计算这个面积的万能钥匙就是：大面积 - 小面积。这个大和小，指的就是以固定点为圆心，分别以线段外端和内端为半径画出的两个扇形。
🔥 三级跳挑战：从入门到大神
【入门例题】一根长为 30 cm 的雨刷，固定在离端点 10 cm 的轴上。当它旋转 90° 清洁玻璃时，它扫过的面积是多少平方厘米？
阿星拆解：我们一步一步来画这个“动图”。
1. 找关键长度：雨刷全长 30 cm，固定点离一端 10 cm。这意味着什么？这意味着，从固定点到雨刷外端点的长度（大半径 \( R \) ）是 \( 30 - 10 = 20 \) cm。从固定点到雨刷内端点的长度（小半径 \( r \) ）就是 10 cm。
2. 想象扇形：当它旋转 90°，相当于画出了四分之一个圆环。大扇形半径 \( R = 20 \) cm，小扇形半径 \( r = 10 \) cm。
3. 套用公式：整个扇环面积 = 大扇形面积 - 小扇形面积。
扇形面积公式是 \( \frac{n}{360} \times \pi \times (\text{半径})^2 \)，其中 \( n \) 是角度。
所以，大扇形面积 = \( \frac{90}{360} \times \pi \times 20^2 = \frac{1}{4} \times \pi \times 400 = 100\pi \) \( \text{cm}^2 \)。
小扇形面积 = \( \frac{90}{360} \times \pi \times 10^2 = \frac{1}{4} \times \pi \times 100 = 25\pi \) \( \text{cm}^2 \)。
4. 相减得结果：扫掠面积 = \( 100\pi - 25\pi = 75\pi \) \( \text{cm}^2 \)。
如果取 \( \pi \approx 3.14 \)，那么结果大约是 \( 75 \times 3.14 = 235.5 \) \( \text{cm}^2 \)。
【进阶例题】某旋转清洁装置的长臂为 1.2 米，旋转轴距离臂的一端 0.3 米。若它旋转了 \( 120^\circ \)，求其扫过的面积（单位：平方米）。
阿星敲黑板：这道题的坑你发现了吗？对，单位！题目给的“米”，而问题要求的答案单位也是“平方米”。很多同学会忽略单位，或者对“1.2米”和“0.3米”里面的小数计算发怵。别怕，我们一步步来。
1. 确定大小半径：全长 \( L = 1.2 \) 米，轴距内端 \( r = 0.3 \) 米。
那么外端到轴的距离（大半径 \( R \) ）= \( L - r = 1.2 - 0.3 = 0.9 \) 米。看，小数减法很简单吧！
2. 代入扇形面积公式：旋转角度 \( n = 120^\circ \)。
大扇形面积 = \( \frac{120}{360} \times \pi \times R^2 = \frac{1}{3} \times \pi \times (0.9)^2 \)。
先算 \( 0.9^2 = 0.81 \)，所以大扇形面积 = \( \frac{1}{3} \times \pi \times 0.81 = 0.27\pi \) 平方米。
小扇形面积 = \( \frac{120}{360} \times \pi \times r^2 = \frac{1}{3} \times \pi \times (0.3)^2 \)。
先算 \( 0.3^2 = 0.09 \)，所以小扇形面积 = \( \frac{1}{3} \times \pi \times 0.09 = 0.03\pi \) 平方米。
3. 计算扫掠面积：\( 0.27\pi - 0.03\pi = 0.24\pi \) 平方米。
如果取 \( \pi \approx 3.14 \)，那么结果大约是 \( 0.24 \times 3.14 = 0.7536 \) 平方米。
陷阱化解：牢记单位统一，遇到小数时按部就班计算平方，就不会出错。
【拔高例题】工人师傅用一根 1 米长的粉笔，像圆规一样，按住粉笔的一端（距笔尖 0.2 米处），在黑板上画出了一个圆心角为 \( 150^\circ \) 的扇形痕迹。请问粉笔划过的黑板区域面积是多少？
思维迁移：这道题是不是看起来像全新的问题？不！让我们“动图解析”：把粉笔想象成雨刷，手指按住的那个点就是旋转轴。粉笔划过黑板，不就相当于雨刷扫过玻璃吗？形状依然是“大扇形减小扇形”的扇环！
1. 识别模型：粉笔全长 \( L = 1 \) 米，固定点距笔尖（内端点）\( r = 0.2 \) 米。
那么，粉笔尾端（外端点）到固定点的距离（大半径 \( R \) ）= \( L - r = 1 - 0.2 = 0.8 \) 米。
2. 套用核心公式：旋转角度 \( n = 150^\circ \)。
扫掠面积 = \( \frac{150}{360} \times \pi \times R^2 - \frac{150}{360} \times \pi \times r^2 \)。
先化简 \( \frac{150}{360} = \frac{5}{12} \)。
所以，面积 = \( \frac{5}{12} \pi (R^2 - r^2) = \frac{5}{12} \pi \times (0.8^2 - 0.2^2) \)。
3. 逐步计算：
先算 \( 0.8^2 = 0.64 \)，\( 0.2^2 = 0.04 \)。
所以 \( R^2 - r^2 = 0.64 - 0.04 = 0.60 \)。
代入：面积 = \( \frac{5}{12} \pi \times 0.60 = \frac{5}{12} \times 0.60 \times \pi = 0.25 \pi \) 平方米。
（因为 \( \frac{5}{12} \times 0.6 = \frac{5}{12} \times \frac{3}{5} = \frac{1}{4} = 0.25 \)）
看，无论场景怎么变，只要抓住“绕定点旋转的线段”这个核心，解题思路万变不离其宗。
📝 阿星必背口诀：
扫掠面积如何求？大扇小扇分先后。
半径找准外减内，角度相同直接扣。
公式代入口算勤，单位统一是高手！
🚀 举一反三：变式挑战
一根 40 cm 长的直杆，支点距离其一端 15 cm。当它旋转 \( 60^\circ \) 时，扫过的面积是多少 \( \text{cm}^2 \)？
一个旋转清扫头扫出了面积为 \( 48\pi \, \text{cm}^2 \) 的扇环。已知其旋转了 \( 120^\circ \)，且内外半径之差为 6 cm。求这段清扫头的长度。
钟表的分针长 20 cm（从表盘中心到针尖）。从 12:00 到 12:20，分针针尖划过的轨迹长度（弧长）是多少？分针本身（假设是线段）扫过的面积又是多少？（提示：分针是绕着中心端点旋转的，这是哪种特殊情况？）
解析与答案
【详尽解析】
入门例题答案：\( 75\pi \, \text{cm}^2 \) (约 235.5 \( \text{cm}^2 \))。
进阶例题答案：\( 0.24\pi \, \text{m}^2 \) (约 0.7536 \( \text{m}^2 \))。
拔高例题答案：\( 0.25\pi \, \text{m}^2 \)。
变式挑战解析：
1. 变式一：外半径 \( R = 40-15=25 \) cm，内半径 \( r=15 \) cm。面积 = \( \frac{60}{360}\pi(25^2-15^2) = \frac{1}{6}\pi \times 400 = \frac{200}{3}\pi \, \text{cm}^2 \)。
2. 变式二：【核心提示】利用公式 \( S = \frac{n}{360}\pi(R^2 - r^2) \)，已知 \( S=48\pi, n=120, R-r=6 \)。先由面积求出 \( R^2 - r^2 = (R+r)(R-r) \) 的值，再结合 \( R-r=6 \) 求出 \( R+r \)，即可解出 \( R \) 和 \( r \)，其和即为杆长。
3. 变式三：【核心提示】分针绕中心旋转，这是固定点在端点的特殊情况，此时小半径 \( r = 0 \)。从12:00到12:20，分针走了20分钟，即圆周的 \( \frac{20}{60} = \frac{1}{3} \)，对应角度为 \( 120^\circ \)。因此，扫掠面积直接等于一个半径为20cm、圆心角120°的扇形面积，而不再是扇环。弧长则是该扇形对应的弧长。
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