想学轻功水上漂？先过表面张力这关！阿星精讲+3道变式攻克物理难点：典型例题精讲
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五年级
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最近更新
2025-12-20
💡 阿星精讲：表面张力 的本质
想象一下，你想练成“轻功水上漂”。但为什么水黾能做到，你却注定会沉底？秘密就在于水的“表皮”——表面张力。
水分子之间像一群手拉手的好朋友，彼此有强烈的“内聚力”。在水体内部，每个分子被四面八方的小伙伴平均地拉扯着。但在水面上，表层的水分子没有“楼上”的朋友，只能和“身旁”和“楼下”的朋友紧紧相拥，形成了一层致密的“分子薄膜”。这种使液体表面尽可能收缩的力，就是表面张力，记作系数 \( \gamma \)，单位是 \( \text{N/m} \)。
水黾的腿上有疏水细毛，能“踩”在这层薄膜上而不刺破它。它站立时，腿部产生的压强被水的表面张力“托住”了。而人类的脚掌太大、太重，产生的压强 (\( P = F/A \)) 远远超过了表面张力能提供的最大支撑力，薄膜瞬间破裂，自然就“沉底”了。所以，“轻功水上漂”的数学门槛，就是看你单位面积产生的压强，是否能被液体的表面张力系数 \( \gamma \) 所平衡。
🔥 经典例题精析
题目：一只水黾重 \( 2 \times 10^{-4} \, \text{N} \)，它用6条腿站在水面上，假设每条腿与水面的接触可视为长度为 \( 1.5 \, \text{mm} \) 的线段。已知水的表面张力系数 \( \gamma = 7.2 \times 10^{-2} \, \text{N/m} \)。请通过计算判断，仅靠水的表面张力能否支撑这只水黾站立？（忽略水的浮力）
阿星拆解：
第一步：理解支撑力的来源。
表面张力作用在接触的周界上。水黾每条腿像一把“尺子”压在水膜上，水膜对它的支撑力来自腿两侧的液面。每条腿的接触周界长度 \( L = 2 \times \text{腿长} \)（因为线段有上下两个边与水接触）。
单条腿获得的表面张力最大支持力：\( F_{\text{单腿}} = \gamma \times L = \gamma \times 2l \)。
第二步：计算总支持力。
已知腿长 \( l = 1.5 \, \text{mm} = 1.5 \times 10^{-3} \, \text{m} \)，系数 \( \gamma = 7.2 \times 10^{-2} \, \text{N/m} \)。
总支持力 \( F_{\text{总支}} = 6 \times (\gamma \times 2l) = 6 \times (7.2 \times 10^{-2} \times 2 \times 1.5 \times 10^{-3}) \, \text{N} \)。
计算：\( F_{\text{总支}} = 6 \times (7.2 \times 10^{-2} \times 3.0 \times 10^{-3}) = 6 \times (2.16 \times 10^{-4}) = 1.296 \times 10^{-3} \, \text{N} \)。
第三步：比较与判断。
水黾重力 \( G = 2 \times 10^{-4} \, \text{N} = 0.2 \times 10^{-3} \, \text{N} \)。
因为 \( F_{\text{总支}} = 1.296 \times 10^{-3} \, \text{N} > G = 0.2 \times 10^{-3} \, \text{N} \)，
所以，仅靠表面张力足以支撑水黾站立。
口诀：
轻功要看张力线，系数乘上接触边。
合力若比重力大，水上漂移不沉下。
🚀 举一反三：变式挑战
将水换成酒精，酒精的表面张力系数 \( \gamma_{\text{酒}} = 2.2 \times 10^{-2} \, \text{N/m} \)。如果同样的水黾（重力与腿长不变），用同样方式站在酒精液面上，表面张力能否支撑它？
如果知道某昆虫重 \( 5 \times 10^{-4} \, \text{N} \)，用4条腿站立，每条腿接触长度 \( 2 \, \text{mm} \)，且刚好能被水的表面张力（\( \gamma = 7.2 \times 10^{-2} \, \text{N/m} \)）支撑。求该昆虫每条腿需要多长的接触长度 \( l \) ？（假设支撑力仅来自腿两侧的表面张力）
一枚硬币（密度 \( \rho = 7.9 \, \text{g/cm}^3 \)）被小心地平放在水面上。硬币直径为 \( 2.0 \, \text{cm} \)，厚度为 \( 0.2 \, \text{cm} \)。假设水面被硬币压下后，表面张力沿硬币整个圆周竖直向上作用。已知水的 \( \gamma = 7.2 \times 10^{-2} \, \text{N/m} \， g = 10 \, \text{N/kg} \)。通过计算判断，表面张力能否托住这枚硬币？（提示：先求硬币重力，再求表面张力可提供的最大支持力）
答案与解析
经典例题答案：能支撑。计算过程见阿星拆解。
变式一解析：
在酒精中，单腿支持力 \( F_{\text{单}} = \gamma_{\text{酒}} \times 2l = 2.2 \times 10^{-2} \times 2 \times 1.5 \times 10^{-3} = 6.6 \times 10^{-5} \, \text{N} \)。
总支持力 \( F_{\text{总}} = 6 \times 6.6 \times 10^{-5} = 3.96 \times 10^{-4} \, \text{N} \)。
水黾重力 \( G = 2 \times 10^{-4} \, \text{N} = 2.0 \times 10^{-4} \, \text{N} \)。
因为 \( F_{\text{总}} = 3.96 \times 10^{-4} \, \text{N} > G = 2.0 \times 10^{-4} \, \text{N} \)，所以仍然可以支撑，但“安全余量”变小了。
变式二解析：
设每条腿需要接触长度为 \( l \)。总支持力与重力平衡：
\( 4 \times (\gamma \times 2l) = G \)
代入数据：\( 4 \times (7.2 \times 10^{-2} \times 2l) = 5 \times 10^{-4} \)
\( 4 \times (1.44 \times 10^{-1} \times l) = 5 \times 10^{-4} \)
\( 5.76 \times 10^{-1} \times l = 5 \times 10^{-4} \)
\( l = \frac{5 \times 10^{-4}}{5.76 \times 10^{-1}} \approx 8.68 \times 10^{-4} \, \text{m} = 0.868 \, \text{mm} \)。
所以，每条腿的接触长度至少需要约 \( 0.87 \, \text{mm} \)。
变式三解析：
第一步：求硬币重力。
硬币体积 \( V = \pi R^2 h = \pi \times (1.0 \times 10^{-2})^2 \times (0.2 \times 10^{-2}) = \pi \times 10^{-4} \times 2 \times 10^{-3} = 2\pi \times 10^{-7} \, \text{m}^3 \)。
质量 \( m = \rho V = 7.9 \times 10^3 \times 2\pi \times 10^{-7} = 1.58\pi \times 10^{-3} \, \text{kg} \approx 4.96 \times 10^{-3} \, \text{kg} \)。
重力 \( G = mg \approx 4.96 \times 10^{-3} \times 10 = 4.96 \times 10^{-2} \, \text{N} \)。
第二步：求表面张力最大支持力。
作用周长为硬币周长：\( L = \pi d = \pi \times 2.0 \times 10^{-2} = 2\pi \times 10^{-2} \, \text{m} \)。
最大支持力 \( F_{\text{max}} = \gamma \times L = 7.2 \times 10^{-2} \times 2\pi \times 10^{-2} = 1.44\pi \times 10^{-3} \, \text{N} \approx 4.52 \times 10^{-3} \, \text{N} \)。
第三步：比较。
\( G \approx 4.96 \times 10^{-2} \, \text{N} \) 远大于 \( F_{\text{max}} \approx 4.52 \times 10^{-3} \, \text{N} \)（相差超过10倍）。
所以，仅靠表面张力完全无法托住这枚硬币。实际上，硬币能浮住主要靠的是液面被压下后产生的向上的浮力与表面张力共同作用。
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