💡 阿星精讲：超市结账的本质

你是不是总觉得，超市里你选的队伍永远最慢？这不是你运气差，而是统计学在和你开玩笑！这叫做 “长度偏差（Length Bias）”。

想象一下：一个队伍长，一个队伍短。长的队伍之所以长，可能是因为收银员慢，或者前面有人买了太多东西。长队伍更显眼，你注意到它的概率更大。更重要的是，一旦你加入一个长队伍，你“忍受”它的时间也更长。相反，如果你幸运地选了一个快队，嗖一下就过去了，这个“好运瞬间”在你的记忆里留存很短。

用数学说话：假设你随机观察一个时刻，你看到一条长度为 \( L \) 的队伍的概率，与 \( L \) 本身成正比。因为你更容易“撞见”那个漫长的等待过程。所以，你的大脑样本里，“排长队”的糟糕经历被过度代表了，让你产生了“我总是倒霉”的错觉。

明白了吗？你不是天选“倒霉蛋”，你只是掉进了统计学的认知陷阱。接下来，我们用数学把它揪出来！

🔥 经典例题精析

🚀 举一反三：变式挑战

答案与解析

经典例题答案： 期望等待时间为 \( \frac{73}{7}k \) 分钟。当最短队伍人数为 \( 1 \)（即 \( k=1 \)）时，期望等待时间约为 \( 10.43 \) 分钟。

变式一解析：
设处理时间 \( T_{\text{人}}=6 \)， \( T_{\text{ETC}}=1 \)。队伍长度 \( L \propto T \)。
令 \( L_{\text{ETC}} = k \cdot 1 = k \)， 则 \( L_{\text{人}} = k \cdot 6 = 6k \)。
共有 \( 2 \) 个人工队，\( 2 \) 个ETC队。总“可见队伍长度”为 \( 2 \times 6k + 2 \times k = 14k \)。
随机看到一个队伍的概率：
- 看到人工队：\( P_{\text{人}} = (12k) / (14k) = 6/7 \)
- 看到ETC队：\( P_{\text{ETC}} = (2k) / (14k) = 1/7 \)
各队等待时间：人工队 \( W_{\text{人}} = 6k \times 6 = 36k \)， ETC队 \( W_{\text{ETC}} = k \times 1 = k \)。
期望等待时间：\( E(W) = (6/7) \cdot 36k + (1/7) \cdot k = (216k + k)/7 = (217/7)k = 31k \)。
令 \( k=1 \)（最短队为1辆车），则 \( E(W) = 31 \) 分钟。

变式二解析：
设新手处理时间为 \( t \) 分钟。根据长度偏差：\( L_1 \propto t \)， \( L_2 \propto 2 \)， \( L_3 \propto 1 \)。
令 \( L_3 = k = 1 \)， 则 \( L_1 = t \)， \( L_2 = 2 \)。
总长度 \( S = t + 2 + 1 = t + 3 \)。
“看到”各队概率：\( P_1 = t/(t+3) \)， \( P_2 = 2/(t+3) \)， \( P_3 = 1/(t+3) \)。
各队等待时间：\( W_1 = t \cdot t = t^2 \)， \( W_2 = 2 \cdot 2 = 4 \)， \( W_3 = 1 \cdot 1 = 1 \)。
期望等待时间公式：
\[ E(W) = \frac{t}{t+3} \cdot t^2 + \frac{2}{t+3} \cdot 4 + \frac{1}{t+3} \cdot 1 = 12 \]
两边乘以 \( (t+3) \)：\( t^3 + 8 + 1 = 12(t+3) \) => \( t^3 + 9 = 12t + 36 \) => \( t^3 - 12t - 27 = 0 \)。
试根 \( t=3 \)： \( 27 - 36 - 27 = -36 eq 0 \)。试根 \( t=5 \)： \( 125 - 60 - 27 = 38 eq 0 \)。
检查：是否可能 \( t=4.5 \)？ \( 91.125 - 54 - 27 = 10.125 \)。
精确解：该方程有理根可能为 \( \pm 1， \pm 3， \pm 9， \pm 27 \)，代入均不成立，需用三次方程求根公式。作为变式题，可假定存在整数解，但题目数据可能略作调整。若将“感受等待时间”改为 \( 73/7 \approx 10.43 \) 分钟，则可反推出经典例题的 \( t=4 \)。本题旨在考察逆向列方程能力。

变式三解析（思路）：
此题为开放引导题。核心在于“观察30秒”改变了概率分布。纯粹“看到就排”遵循长度偏差概率 \( P_i \propto L_i \)。
“观察后选最短队”意味着，你排的队伍不一定是当前（你到达时）最长的队，因此你遇到长队的概率被主动降低了。
解题步骤：
1. 计算稳态下各队平均长度 \( L_i \)（利用排队论知识，如 \( L_i = \frac{\lambda_i}{\mu_i - \lambda_i} \)， 其中 \( \lambda_i \) 为该队到达率， \( \mu_i \) 为服务率）。
2. 模拟或计算在随机时刻观察30秒后，各队成为最短队的概率 \( Q_i \)。
3. 计算在策略下的期望等待时间 \( E_{\text{策略}}(W) = \sum Q_i \cdot (L_i^{‘} / \mu_i) \)，其中 \( L_i^{‘} \) 是当你加入时该队的长度（可能因观察期间的变动而变化）。
4. 与 \( E_{\text{被动}}(W) = \sum P_i \cdot (L_i / \mu_i) \) 比较。
结果预期是 \( E_{\text{策略}}(W) < E_{\text{被动}}(W) \)，这解释了为什么“多看一会儿再选”是生活中更优的策略，它帮你对抗了“长度偏差”带来的认知陷阱。