沉没成本：理性决策的数学陷阱

💡 阿星精讲：沉没成本 的本质

想象一下，你买了一张 \(50\) 元的电影票，看了 \(30\) 分钟后发现这是一部烂片。此时，你已经付出的 \(50\) 元和 \(30\) 分钟就是沉没成本——它们像泼出去的水，无法收回。然而，很多人会想：“钱都花了，不看就亏了”，于是硬着头皮看完剩下的 \(60\) 分钟。这就是“为了回本而强行消费”的非理性行为。沉没成本干扰了你的理性决策，让你为了所谓的‘省钱’（不浪费票钱），反而浪费了更多宝贵的时间 \(t\) 和心情。在数学上，理性的决策应只考虑未来的边际收益 \(R_f\) 和未来的边际成本 \(C_f\)，而将沉没成本 \(C_s\) 视为 \(0\) 参与决策。

🔥 经典例题精析

🚀 举一反三：变式挑战

答案与解析

经典例题答案： 阿星应玩到第 \(6\) 个项目停止。
解析： 计算过程见【阿星拆解】。核心是忽略 \(80\) 元沉没成本，当未来边际收益 \(20 - 5(i-2) < 0\) 时停止，即从 \(i=7\) 开始收益为负，故 \(i_{max} = 6\)。

变式一答案： 应再使用 \(10\) 天后关闭。
解析： 已付的 \(30\) 元会员费是沉没成本。决策应从第 \(16\) 天（后半月第 \(1\) 天）开始，未来每日效用为 \(U(d) = 3 - 0.1d\)。令 \(U(d) \geq 0\)：\(3 - 0.1d \geq 0 \Rightarrow d \leq 30\)。但后半月只有 \(15\) 天，所以理论上整个后半月效用都非负。然而，问题是“应再使用多少天”，其本质是问“未来效用何时开始递减至低于某个阈值？”但根据模型，在整个后半月 \(U(d)\) 都为正。这里有一个隐含的理性人假设：如果某天的效用低于一个外部机会成本（比如做其他事的基本效用），就应该停止。若假设外部机会成本为 \(0\)，则应一直使用。但通常此类问题考察的是边际效用为零的点。令 \(U(d)=0\)，解得 \(d=30\)，超出了后半月范围，意味着后半月每一天的效用都大于 \(0\)。但根据递减趋势，最后几天效用极低（如第 \(15\) 天效用为 \(1.5\)）。一个更合理的解释是，用户可能根据“边际效用低于时间成本”来决定。若未给出时间成本，最符合题意的答案是：由于效用始终为正，从纯经济效用最大化角度，他应该用完整个后半月 \(15\) 天。但题目可能期望的答案是：计算效用总和，但题目问的是“应再使用多少天”，通常指向边际效用为零的临界点。由于 \(d=30\) 不在后半月区间内，所以答案是继续使用全部 \(15\) 天。然而，如果理解为“直到某天效用为零为止”，那在本月后半月内不会发生，因此也可以回答“\(15\) 天”。为符合出题意图，我们给出一个明确计算：设他使用 \(x\) 天，总未来效用为 \(\sum_{d=1}^{x} (3 - 0.1d) = 3x - 0.05x(x+1)\)。这是一个关于 \(x\) 的二次函数，在 \(x=29.5\) 时达到最大值，但受限于 \(x \leq 15\)，所以在 \(x=15\) 时取最大值。因此，理性决策是使用完所有剩余天数。但若题目隐含“当单日效用低于某个值（如0）就停止”，则在本月内不会停止。这是一个有争议的变式，更严谨的变式应加入机会成本。标准答案可设为：\(15\) 天。

变式二答案： 第 \(3\) 个项目的快乐值至少为 \(10\) 元。
解析： 此时需要考虑未来的时间成本。玩一个项目（含排队）需 \(20\) 分钟，时间成本为 \(20 \times 0.5 = 10\) 元。若继续玩第 \(3\) 个项目，其总成本为时间成本 \(10\) 元（沉没的票钱不再考虑）。理性决策的条件是：玩第 \(3\) 个项目的快乐值 \(V(3) \geq\) 未来时间成本 \(10\) 元。因此，当 \(V(3) < 10\) 元时，就应立刻离开。

变式三答案： 至少需再学 \(10\) 小时；但这个“回本”目标是非理性的。
解析：
1. 计算覆盖沉没成本所需小时数 \(h\)：
技能提升总价值为 \(\int_{0}^{h} (60 - 8t) dt = 60h - 4h^2\)。
加上心理补偿 \(50\) 元，总收益为 \(60h - 4h^2 + 50\)。
令总收益等于沉没成本 \(500\)：\(60h - 4h^2 + 50 = 500\)。
整理得：\(4h^2 - 60h + 450 = 0 \Rightarrow 2h^2 - 30h + 225 = 0\)。
判别式 \(\Delta = (-30)^2 - 4 \times 2 \times 225 = 900 - 1800 = -900 < 0\)，无实数解。
这意味着，无论他再学多久，技能提升和心理补偿的总和都无法达到 \(500\) 元。因为函数 \(60h - 4h^2\) 是一个开口向下的抛物线，最大值在 \(h = 7.5\) 时取得，最大值为 \(60 \times 7.5 - 4 \times (7.5)^2 = 225\)。加上 \(50\) 元心理补偿，最大总收益仅为 \(275\) 元，永远小于 \(500\) 元。
2. 理性决策分析：
沉没成本 \(500\) 元不应影响决策。理性决策是：只要未来每小时学习的边际收益（技能提升价值）\(v(h) = 60 - 8h > 0\)，就继续学。令 \(60 - 8h > 0\)，得 \(h < 7.5\)。因此，从经济收益最大化角度，他最多再学 \(7.5\) 小时就应停止。为了一个无法实现的“回本”目标而强迫自己学习超过 \(7.5\) 小时，甚至试图达到 \(10\) 小时以上，是典型的被沉没成本绑架的非理性行为。