图解平方差公式：告别硬算！用“蛋糕切拼法”实现口算秒杀 | 阿星小学数学：典型例题精讲
适用年级
五年级
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⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-20
平方差公式：从“硬算地狱”到“口算天堂”的魔法钥匙
💡 阿星解密：为什么公式长这样？
想象一下，你有一块巨大的正方形蛋糕（边长101厘米），被吃掉了一小块，只剩下一个边长99厘米的小正方形。你想知道被吃掉的那一圈蛋糕的面积是多少？
硬算是101×101 - 99×99，数字很大，容易算错。但阿星告诉你一个魔法：把吃掉的那一圈“L”形面积，剪一剪、拼一拼，就能变成一个长长的长方形！
怎么变？把“L”形从左上角剪开，旋转一下，就能拼成一个长是（大边长+小边长），宽是（大边长-小边长） 的长方形。这样面积就好算多了！
👀 看图说话：大蛋糕变小长条
关键点拨：
图中的隐形数字，就是那条细细的宽度(a-b)。当a和b很接近时（比如101和99），这个差很小（只有2），所以拼出来的长方形又细又长。公式的精髓在于，它把复杂的两个大数平方相减，转化成了简单的一次加法、一次减法和一次乘法。你不需要计算101×101，也不需要计算99×99，你只需要计算(101+99=200) 和 (101-99=2)，然后200×2=400，答案就出来了！这就是口算秒杀的魔法。
🔥 三级跳挑战：从陷阱到精通
【母题演示】计算：6² - 4²
阿星的显微镜
这就像一块边长6的大正方形纸片，剪掉一个边长4的小正方形。剩下的“L”形面积，可以重新拼装。
标准算式：\( 6^2 - 4^2 = (6+4) \times (6-4) = 10 \times 2 = 20 \)
验证：36 - 16 = 20 ✔ 完全正确！
【易错陷阱】计算：1001² - 999²
阿星的避雷针：
大多数人会怎么错：看到数字这么大，头皮发麻。可能尝试列竖式计算1001×1001和999×999，过程冗长，极易在中间某一步进位出错。
图解陷阱：掉进了“硬算”的陷阱，没有认出这其实是一个完美的“大蛋糕被吃了一小块”的模型。大边长a=1001，小边长b=999，它们多么接近啊！
正确思路：立刻套用我们的几何拼图魔法！
\[ 1001^2 - 999^2 = (1001 + 999) \times (1001 - 999) = 2000 \times 2 = 4000 \]
看，口算就能完成！
【高手进阶】一个圆环形花园，外圆半径8米，内圆半径5米。圆环面积是多少？(π取3.14)
思维迁移：圆环面积公式是 πR² - πr²。这不就是 π×(R² - r²) 吗？R² - r² 部分，正是我们学的平方差公式！
所以，圆环面积 = π × (R + r) × (R - r)
计算：3.14 × (8+5) × (8-5) = 3.14 × 13 × 3 = 3.14 × 39 = 122.46 (平方米)。
这样做，完全避开了计算8²=64和5²=25，让计算更简单、更不容易出错！
📝 阿星的定海神针（口诀）：
平方相减不用慌，化作相乘有良方。
先加后减是边长，拼成长方形算得快！
🚀 举一反三：巩固练习
请用平方差公式计算：17² - 13²
判断并计算：58² - 42²。如果直接硬算，第一步（58²）你会得到多少？用公式算又得多少？
生活应用：一个正方形相框，外框边长30厘米，内框（放照片部分）边长26厘米。这个相框边框的面积是多少？
📚 答案与解析
【答案速查】
- 练习一： 17² - 13² = (17+13)×(17-13) = 30×4 = 120
- 练习二：
- 硬算第一步：58² = 3364。
- 用公式： (58+42)×(58-42) = 100×16 = 1600。显然用公式快得多。
- 练习三： 这正是“大正方形减小正方形”的模型。边框面积 = 30² - 26² = (30+26)×(30-26) = 56×4 = 224 (平方厘米)。
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