四年级上学期期末数学行程问题三要素公式应用与练习题详解：典型例题精讲
适用年级
四年级
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-24
💡 阿星精讲：总结：行程问题三要素 原理
- 核心概念：想象一下，“路程”是一块大蛋糕，而“速度”和“时间”就是做蛋糕的两个师傅。阿星告诉你：路程 = 速度 × 时间。速度师傅负责“切”蛋糕的速度（每小时切多少块），时间师傅负责“做”多久。所以，看到“相遇”、“背向”、“追及”这些词，别慌！第一步，先在草稿纸上把这个“做蛋糕公式”写下来，你就抓住了解决所有行程问题的“总开关”。
- 阿星口诀：速度时间分两家，相乘合体变路程。相遇背向虽热闹，抓住公式定乾坤。
- 公式推导：我们用字母来表示会更清晰。设：
$$ 路程 = s \quad (\text{英文 distance 的首字母}) $$
$$ 速度 = v \quad (\text{英文 velocity 的首字母}) $$
$$ 时间 = t \quad (\text{英文 time 的首字母}) $$
它们三者最核心的关系就是：
$$ s = v \times t $$
由此可以变形出另外两个公式，用来求另外两个要素：
$$ v = s \div t $$
$$ t = s \div v $$
📐 图形解析（总结：行程问题三要素 可视化）
📐 公式说明：\( s \)，\( v \)，\( t \)
【如图所示，我们用一条线段表示从A地到B地的总路程 \( s \)。在解题时，无论题目给出的是具体的数字，还是未知数，我们都可以用 \( s \) 来代表它。中间蓝色的方块象征这块“路程蛋糕”。箭头代表速度 \( v \)，它决定了前进的快慢；时钟代表时间 \( t \)，它决定了运动的时长。这张图揭示了最核心的原理：路程 \( s \) 是由速度 \( v \) 和时间 \( t \) “相乘”得到的。在做题时，先在图上标出已知的 \( s, v, t \) 中的两个，就能求出第三个。】
⚠️ 易错警示：星火避坑指南
- ❌ 典型错误1（单位陷阱）： 题目说“小明速度是每分钟60米，走了2小时”，学生直接用 \( 60 \times 2 = 120 \) 米计算路程。
- ✅ 阿星纠正： “速度”和“时间”的单位必须统一！就像你不能用“元”乘以“美元”直接得到总价一样。必须把2小时化成 \( 2 \times 60 = 120 \) 分钟，或者把每分钟60米化成每小时 \( 60 \times 60 = 3600 \) 米。统一单位后，再套用公式 \( s = v \times t \)。记住：先统一单位，再计算！
- ❌ 典型错误2（公式套用错误）： 求“相遇时间”时，学生看到两个速度，不知道用哪个，或者直接用总路程除以一个速度。
- ✅ 阿星纠正： 相遇问题中，两人是同时在走，共同走完了全部路程。所以，应该把两人的速度加起来，看作一个“联合速度”。相遇时间 = 总路程 ÷ (甲速 + 乙速)。背向而行问题同理。核心思想是：先找到“总路程”和“总速度”。
🔥 经典题型：三例精讲
例题 1：基础巩固（单对象）
题目：一辆高铁以 \( 250 \) 千米/时的速度行驶，\( 3 \) 小时后行驶了多少千米？
📌 阿星解析：
- 第一步（找要素）： 看到题目，立刻在草稿纸上写 \( s = v \times t \)。已知速度 \( v = 250 \) 千米/时，时间 \( t = 3 \) 小时，求路程 \( s \)。
- 第二步（套公式）： 单位统一（都是千米和小时），直接代入公式：\( s = 250 \times 3 \)。
✅ 答案： \( 750 \) 千米。
例题 2：灵活应用（求时间）
题目：小星家离学校 \( 900 \) 米，他步行的速度是 \( 75 \) 米/分。他从家走到学校需要多少分钟？
📌 阿星解析：
- 第一步（找要素）： 公式 \( s = v \times t \)。已知路程 \( s = 900 \) 米，速度 \( v = 75 \) 米/分，求时间 \( t \)。
- 第二步（用变形）： 需要用变形公式 \( t = s \div v \)。代入：\( t = 900 \div 75 \)。
✅ 答案： \( 12 \) 分钟。
例题 3：相遇问题（双对象）
题目：甲乙两人从相距 \( 2400 \) 米的两地同时相对而行（相遇问题）。甲的速度是 \( 70 \) 米/分，乙的速度是 \( 50 \) 米/分。他们多久后相遇？
📌 阿星解析：
- 第一步（写核心公式）： \( s = v \times t \)。这里的 \( s \) 是总路程 \( 2400 \) 米。
- 第二步（分析“联合速度”）： 两人面对面走，每分钟靠近的距离是两人速度之和，即 \( 70 + 50 = 120 \) 米/分。这就是他们“合作吃掉路程蛋糕”的联合速度。
- 第三步（求时间）： 相遇时间 = 总路程 ÷ 速度和。\( t = 2400 \div 120 \)。
✅ 答案： \( 20 \) 分钟后相遇。
🚀 阶梯训练
第一关：基础热身（5道）
- 自行车每分钟行 \( 200 \) 米，\( 15 \) 分钟能行多少米？
- 一艘轮船从甲港到乙港需要航行 \( 6 \) 小时，两港相距 \( 210 \) 千米，轮船的速度是多少千米/时？
- 声音在空气中每秒传播 \( 340 \) 米，打雷处离我们 \( 1700 \) 米，雷声几秒后传来？
- 小华每天上学要走 \( 20 \) 分钟，他步行的速度是 \( 55 \) 米/分，他家离学校有多远？
- 一辆汽车 \( 4 \) 小时行驶了 \( 320 \) 千米，照这样的速度，\( 7 \) 小时能行驶多少千米？
第二关：奥数挑战（5道）
- （相遇问题）A、B两城相距 \( 600 \) 千米，两列火车同时从两城相对开出。一列火车时速 \( 110 \) 千米，另一列时速 \( 90 \) 千米。几小时后两车相遇？
- （背向问题）兄弟两人在环形跑道上背向跑步，跑道一圈长 \( 400 \) 米。哥哥速度是 \( 6 \) 米/秒，弟弟速度是 \( 4 \) 米/秒。他们从同一地点同时出发，多长时间后第一次相遇？（提示：背向而行，第一次相遇时合跑了一圈）
- （求路程）李叔叔开车从甲地到乙地，前 \( 2 \) 小时平均每小时行 \( 60 \) 千米，后 \( 3 \) 小时平均每小时行 \( 80 \) 千米。甲乙两地相距多少千米？（提示：分段计算路程再相加）
- （灵活求速度）小星参加 \( 800 \) 米长跑比赛，他用时 \( 4 \) 分钟跑完全程。他的平均速度是每分钟多少米？合每秒多少米？（保留整数）
- （中点问题）甲乙两人从相距 \( 36 \) 千米的两地相向而行。甲的速度是 \( 5 \) 千米/时，乙的速度是 \( 4 \) 千米/时。甲带了一只狗，狗以 \( 10 \) 千米/时的速度在两人之间往返跑。当两人相遇时，狗一共跑了多少千米？（提示：狗跑的时间就是两人相遇所用的时间）
第三关：生活应用（5道）
- （快递场景）两个无人机配送站相距 \( 18 \) 公里。A站无人机向东飞，速度 \( 30 \) 公里/时；B站无人机向西飞，速度 \( 25 \) 公里/时。它们同时出发为中间的一个客户送件，多久后它们会在客户处相遇？
- （高铁时刻表）一列“复兴号”高铁 \( 10:00 \) 从北京南站出发，以 \( 300 \) 千米/时的速度开往上海。已知北京到上海铁路距离约为 \( 1300 \) 千米。如果不考虑中途停站，这列高铁大约在几点到达上海？
- （网购物流）妈妈在网上买了一件商品，从杭州发货。快递车第一天以 \( 80 \) 千米/时的速度开了 \( 6 \) 小时，第二天以 \( 75 \) 千米/时的速度开了 \( 4 \) 小时到达你家。请问杭州离你家大约多远？
- （太空探索）中国“天问一号”探测器在地火转移轨道上，平均速度约为 \( 10 \) 万千米/时。已知地球到火星的最近距离约为 \( 5500 \) 万千米。以此速度，大概需要多少小时才能抵达？（用科学记数法或估算）
- （工程协作）两个AI机器人负责清理一条数据通道。机器人A单独清理需要 \( 10 \) 分钟，机器人B单独清理需要 \( 15 \) 分钟。如果它们同时从通道两端开始清理（相遇问题模型），多少分钟后能清理完整条通道？（提示：把总工作量看作路程“1”）
🤔 专家问答 FAQ
Q：这一章在考卷里通常占多少分？
A：行程问题是四年级应用题的核心板块，在期末考试中通常会以一道大题（6-8分）的形式出现，有时还会结合其他知识点出在填空或选择题里，总计影响分值可达10分左右。这是必须拿下的分数！
Q：学好它对高中有什么帮助？
A：帮助巨大！小学的行程问题是物理运动学的雏形。你现在学的 \( s = v \times t \)，就是高中物理匀速直线运动的核心公式。相遇、追及问题更是高中物理“运动图像”和“相对运动”的启蒙。现在把“速度、时间、路程”的关系理解透彻，培养用公式和图形分析问题的能力，将来学习物理就会轻松很多。
参考答案
第一关： 1. \( 3000 \) 米 2. \( 35 \) 千米/时 3. \( 5 \) 秒 4. \( 1100 \) 米 5. \( 560 \) 千米
第二关： 1. \( 3 \) 小时 2. \( 40 \) 秒 3. \( 360 \) 千米 4. \( 200 \) 米/分，约 \( 3 \) 米/秒 5. \( 40 \) 千米
第三关： 1. \( 0.4 \) 小时（或 \( 24 \) 分钟） 2. 约 \( 14:20 \) （或下午2点20分） 3. \( 780 \) 千米 4. \( 550 \) 小时 5. \( 6 \) 分钟
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