💡 阿星精讲：光谱吸收 的本质

为什么大海是深邃的蓝色，而落日余晖却是醉人的红色？这不仅仅是物理现象，背后藏着一个优雅的数学函数——指数衰减函数。

可以把海水想象成一个巨大的、有“颜色偏好”的滤镜。水分子更喜欢吸收长波光（红、橙、黄），而对短波光（蓝、紫）则比较“宽容”。当白光（包含所有颜色的光）射入海水时，红色光就像跑进了“减速带”，能量被迅速吸收衰减；蓝色光则像在“快车道”上，能穿透得更深。所以，我们看到反射回来的、未被吸收的光，主要是蓝色，这就是大海呈现蓝色的原因。

这个过程的核心数学模型就是 朗伯-比尔定律：光的强度 \( I \) 随着穿透深度 \( x \) 的增加而呈指数衰减：
\[ I = I_0 \cdot e^{-\alpha x} \]
其中，\( I_0 \) 是初始光强，\( \alpha \) 是吸收系数，它的大小直接体现了海水的“颜色偏好”。对于红光，\( \alpha_{\text{红}} \) 很大，衰减极快；对于蓝光，\( \alpha_{\text{蓝}} \) 很小，衰减缓慢。正是这两个不同的 \( \alpha \) 值，导演了海洋与天空的色彩魔术。

🔥 经典例题精析

🚀 举一反三：变式挑战

答案与解析

经典例题：
(1) 比值 \( \frac{I_R}{I_B} = e^{-4} \approx 0.0183 \)。这意味着在 \( 10 \, \text{m} \) 深处，红光强度仅剩下蓝光的约 \( 1.8\% \)，直观解释了为什么深海是蓝色的世界。
(2) 红光衰减至 \( I_0/e \) 的深度为 \( x_R = 2 \, \text{m} \)。对比蓝光（需 \( 10 \, \text{m} \) 才衰减至 \( I_0/e \)），红光被吸收的速度要快得多。

变式一解析：
首先，由绿光数据求初始设定的吸收系数。根据公式 \( I = I_0 \cdot e^{-\alpha_G x} \)，且 \( I/I_0 = 1/2 \)，\( x = 50 \, \text{mm} \)。
得 \( 1/2 = e^{-0.02 \times 50} = e^{-1} \)，这恰好成立。因此题目设定的 \( \alpha_G = 0.02 \) 是自洽的。
红光吸收系数为其 \( 8 \) 倍：\( \alpha_R = 8 \times 0.02 = 0.16 \, \text{mm}^{-1} \)。

变式二解析：
第一步，先由蓝光数据求海水的吸收系数 \( \alpha_B \)。
由 \( 0.25 I_0 = I_0 \cdot e^{-\alpha_B \times 15} \)，得 \( e^{-15\alpha_B} = 0.25 \)。
两边取自然对数：\( -15\alpha_B = \ln(0.25) = \ln(1/4) = -\ln 4 \)。
所以 \( \alpha_B = \frac{\ln 4}{15} \approx \frac{1.3863}{15} \approx 0.0924 \, \text{m}^{-1} \)。
第二步，求红光衰减至 \( 25\% \) 的深度 \( x_R \)。
由 \( 0.25 I_0 = I_0 \cdot e^{-0.8 \cdot x_R} \)，得 \( e^{-0.8 x_R} = 0.25 \)。
同理，\( -0.8 x_R = -\ln 4 \)，解得 \( x_R = \frac{\ln 4}{0.8} \approx \frac{1.3863}{0.8} \approx 1.73 \, \text{m} \)。
结论：红光仅需传播约 \( 1.73 \, \text{m} \) 就会衰减到 \( 25\% \)，远小于蓝光所需的 \( 15 \, \text{m} \)。

变式三解析：
本题综合了背景吸收和藻类吸收。总衰减系数为 \( \alpha_{\text{总}} = \alpha + kC = 0.5 + 0.03 \times 10 = 0.8 \, \text{m}^{-1} \)。
根据公式 \( I = I_0 \cdot e^{-\alpha_{\text{总}} x} \)，代入 \( I_0 = 100 \)，\( I = 10 \)：
\( 10 = 100 \cdot e^{-0.8 \cdot x_{\text{max}}} \)
\( 0.1 = e^{-0.8 \cdot x_{\text{max}}} \)
两边取自然对数：\( \ln(0.1) = -0.8 \cdot x_{\text{max}} \)
\( -2.3026 \approx -0.8 \cdot x_{\text{max}} \)
解得 \( x_{\text{max}} \approx \frac{2.3026}{0.8} \approx 2.88 \, \text{m} \)。
这意味着，由于藻类自身的吸收，能够支持其生存的红光只能到达水下约 \( 2.88 \, \text{m} \) 的深度，这限制了藻类在垂直方向上的分布。