知道真相太贵了？阿星用数学告诉你，为何有时“装糊涂”更理性——社会成本深度解题全攻略：典型例题精讲
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2025-12-20
社会成本：举一反三深度解题攻略
💡 阿星精讲：社会成本 的本质
想象一下，你怀疑手机里一个付费App在偷偷扣费。查清真相需要你花费 \( C = 5 \) 小时研究账单和条款，而即便查清，预计能追回的最大金额是 \( B = 30 \) 元。这时，你的“信息净收益” \( N = B - C \) 如果为负，那么“保持无知”、不去追查，反而是最经济的理性选择。
“社会成本”问题，就是把这个个人决策放大到整个社会。一个工厂生产获益 \( R \)，但造成污染，给社会带来外部损害 \( D \)。社会总成本是私人成本与外部成本之和。最优的产量点 \( Q^* \) 不在私人利润最大处，而在社会净收益最大处，即满足边际社会收益等于边际社会成本。有时，“知道”（或消除）所有外部损害的成本太高，社会也只能接受一个“次优”的平衡点。
🔥 经典例题精析
题目：某化工厂生产某产品的私人边际成本函数为 \( MC_p = 2Q \)，其私人边际收益函数为 \( MR = 100 - Q \)。生产过程中，每单位产品造成 \( 20 \) 元的污染损害。求：
1) 工厂利润最大化时的产量 \( Q_p \) 和价格 \( P_p \)。
2) 从社会角度看，考虑污染损害后的最优产量 \( Q_s \) 应是多少？
3) 计算在私人产量下，社会总福利的净损失（Deadweight Loss）。
阿星拆解：
第一步：求私人最优。 工厂按 \( MR = MC_p \) 决策：\( 100 - Q = 2Q \)，解得 \( Q_p = \frac{100}{3} \approx 33.33 \)。代入需求（由 \( MR \) 逆推得 \( P = 100 - 0.5Q \)），得 \( P_p = 100 - 0.5 \times \frac{100}{3} \approx 83.33 \)。
第二步：求社会最优。 社会边际成本 \( MC_s \) 需在私人成本上加上外部损害：\( MC_s = MC_p + 20 = 2Q + 20 \)。令社会边际收益 \( MR \)（仍为 \( 100 - Q \) ）等于 \( MC_s \)：\( 100 - Q = 2Q + 20 \)，解得 \( Q_s = \frac{80}{3} \approx 26.67 \)。社会最优产量下降了！
第三步：计算福利净损失。 净损失源于 \( [Q_s, Q_p] \) 区间内，每多生产一单位，其社会成本 \( (MC_s) \) 都高于社会收益 \( (MR) \)。净损失是图中三角形的面积：
\[ DWL = \frac{1}{2} \times (Q_p - Q_s) \times (MC_s(Q_p) - MR(Q_p)) \]
先计算两端值：当 \( Q_p = 100/3 \) 时，\( MC_s = 2\times(100/3)+20 = 260/3 \)，\( MR = 100 - 100/3 = 200/3 \)。差值 \( = 60/3 = 20 \)。
\[ DWL = \frac{1}{2} \times (\frac{100}{3} - \frac{80}{3}) \times 20 = \frac{1}{2} \times \frac{20}{3} \times 20 = \frac{200}{3} \approx 66.67 \]
这就是“知道（并消除）污染真相”所应挽回的社会价值。
口诀：“私利最大 MR=MC，社会最优加上外部C。产量一多福利损，三角面积算 DWL。”
🚀 举一反三：变式挑战
某养蜂场邻近苹果园。养蜂的边际私人收益为 \( MR_h = 60 - Q \)，边际成本为 \( MC_h = 10 + Q \)。同时，蜜蜂授粉给苹果园带来正外部性：每单位养蜂活动为果园带来 \( 15 \) 元的边际收益。求社会最优的养蜂产量 \( Q^*_s \)，并与私人最优产量 \( Q^*_p \) 对比。
已知某产品社会最优产量应为 \( Q_s = 40 \)，私人边际成本为 \( MC_p = Q \)。若政府希望通过征收“庇古税”使企业生产达到社会最优，且测得在 \( Q=40 \) 时，该产品的边际外部损害为 \( 30 \) 元。请问该产品的边际私人收益函数 \( MR \) 可能是多少？
一片公共渔场，每艘船捕鱼的私人边际利润（收益-成本）为 \( \pi = 100 - N \)，其中 \( N \) 为渔船总数。但每增加一艘船，会导致所有船只的平均捕获量下降，造成的外部边际损害为 \( 20 \)（即每增加一艘船，使总社会成本增加 \( 20N \) 元）。求自由进入下的均衡渔船数 \( N_p \) 和社会最优渔船数 \( N_s \)。这体现了何种经典的经济学困境？
答案与解析
经典例题答案：
1) \( Q_p = \frac{100}{3} \approx 33.33 \)， \( P_p = \frac{250}{3} \approx 83.33 \)。
2) \( Q_s = \frac{80}{3} \approx 26.67 \)。
3) \( DWL = \frac{200}{3} \approx 66.67 \)。
举一反三解析：
变式一： 私人最优：\( MR_h = MC_h \) => \( 60 - Q = 10 + Q \) => \( Q^*_p = 25 \)。社会边际收益 \( MR_s \) 应加上外部收益 \( 15 \)：\( MR_s = (60 - Q) + 15 = 75 - Q \)。令 \( MR_s = MC_h \)：\( 75 - Q = 10 + Q \) => \( Q^*_s = 32.5 \)。结论：正外部性活动，社会最优产量高于私人产量，市场供给不足。
变式二： 在社会最优点 \( Q_s=40 \)，应满足 \( MR = MC_s = MC_p + 税 \)。已知 \( MC_p(40)=40 \)，庇古税应等于边际外部损害 \( 30 \)，所以 \( MC_s=40+30=70 \)。因此，在 \( Q=40 \) 时，必须有 \( MR=70 \)。满足此条件的函数形式不唯一，例如 \( MR = 110 - Q \) 或 \( MR = 150 - 2Q \) 等在 \( Q=40 \) 时值为 \( 70 \) 即可。
变式三： 自由进入下，船只会一直增加直到私人边际利润为零：\( \pi = 100 - N = 0 \) => \( N_p = 100 \)。
社会总利润 \( \Pi = N \cdot (100 - N) - \text{总外部损害} \)。总外部损害 = \( \int_0^N 20n \, dn = 10N^2 \)（或由外部边际损害总和 \( 20N \) 积分得）。所以 \( \Pi = 100N - N^2 - 10N^2 = 100N - 11N^2 \)。最大化社会总利润，求导：\( d\Pi/dN = 100 - 22N = 0 \) => \( N_s = \frac{100}{22} \approx 4.55 \)。结论：这是“公地悲剧”的经典模型，自由进入导致资源被过度使用（\( N_p >> N_s \)）。
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