相似三角形「举一反三」深度解题攻略

💡 阿星精讲：相似三角形 的本质

大家好，我是阿星！今天我们来聊聊「相似三角形」，这可是数学史上最早的“魔法”之一哦！它的核心思想，就像2600年前古希腊智者泰勒斯所做的：他利用阳光下的影子长度比，或者仅仅依靠一根小木棍，就轻松测算出了金字塔的高度。

这个“魔法”的本质是什么呢？就是比例！当两个三角形的对应角相等时，它们的形状就完全相同，只是大小不同。这时，它们的对应边就成比例。我们可以把金字塔、它的影子和小木棍、木棍的影子，想象成两个相似的直角三角形。如果木棍高 \( h_1 \)，影子长 \( l_1 \)，金字塔影子长 \( L \)，那么金字塔高 \( H \) 就满足：\( \frac{H}{h_1} = \frac{L}{l_1} \)。看，复杂的测量问题，瞬间变成一个简单的比例式！理解了这个核心，你就抓住了相似三角形的灵魂。

🔥 经典例题精析

🚀 举一反三：变式挑战

答案与解析

经典例题答案：旗杆高 \( AB = 12 \, m \)。

变式一解析：
由题意， \( \triangle ABC \sim \triangle PQB \)。因为 \( C, B, P \) 共线，且 \( AB // PQ \)，所以 \( \frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{BQ} \)。已知 \( AB = 1.6 \)，需求 \( BC \)。注意观察 \( \triangle ABD \) 和 \( \triangle CBD \)，它们不相似。这里的关键是利用 \( \triangle ABC \) 和 \( \triangle PQB \) 相似。我们已知 \( BC = BD + DC = 2 + 0.4 = 2.4 \, m \)。代入比例式：\( \frac{1.6}{PQ} = \frac{2.4}{20} \)，解得 \( PQ = \frac{1.6 \times 20}{2.4} = \frac{32}{2.4} = \frac{40}{3} \approx 13.33 \, m \)。
答案：树高 \( PQ = \frac{40}{3} \, m \)。

变式二解析：
第一步：求早上的太阳高度比。 早上：竹竿高 \( 2 \, m \)，影长 \( 1.5 \, m \)，设此时太阳光线与地面的夹角使得建筑物高度与影长比值为 \( k \)，则 \( k = \frac{2}{1.5} = \frac{4}{3} \)。
第二步：求傍晚教学楼的理论影长。 若太阳高度角不变，教学楼高 \( 20 \, m \)，则影长应为 \( 20 \div k = 20 \times \frac{3}{4} = 15 \, m \)。
第三步：分析矛盾。 题目给出傍晚实测影长就是 \( 15 \, m \)，这与理论值相同。说明傍晚的太阳高度角与早上相同？不，这里有个思维陷阱！题目问“影子变长了多少”，我们需要先求出如果教学楼在傍晚的太阳高度角下，按早上的比例应有的影长。但早上和傍晚的太阳高度角不同，比例 \( k \) 不同。我们已知傍晚的实测影长 \( EF = 15 \)，楼高 \( GH = 20 \)，所以傍晚的实际比例 \( k’ = \frac{20}{15} = \frac{4}{3} \)。咦？怎么和早上的 \( k \) 一样？这说明题目数据设置了一个特殊情况：两次测量的太阳高度角恰好相同。那么影子长度就没有变化。
答案：影子长度没有变化，变长了 \( 0 \, m \)。

变式三解析：
根据光的反射定律， \( \angle OBM = \angle DBM \)，即 \( \angle ABM = \angle CBM \)（因为 \( A \) 是树顶， \( C \) 是人眼）。又因为 \( \angle O = \angle D = 90^\circ \)，所以 \( \triangle ABO \sim \triangle CBD \)。注意，相似的是 \( \triangle ABO \) 和 \( \triangle CBD \)，对应关系是：镜子点 \( M \) 在 \( OB \) 和 \( DB \) 的延长线上，但相似三角形是树所在的 \( \triangle ABO \) 和人所在的 \( \triangle CBD \)，且 \( AO // CD \)。
由相似得比例：\( \frac{AO}{CD} = \frac{OB}{DB} \)。代入数据：\( \frac{AO}{1.6} = \frac{24}{2} = 12 \)。所以 \( AO = 1.6 \times 12 = 19.2 \, m \)。
答案：树高 \( AO = 19.2 \, m \)。