初三上学期期末数学 相似三角形判定易错点解析与专题训练：典型例题精讲

💡 阿星精讲：易错：相似三角形判定 原理

• 核心概念：同学们，判断俩三角形是不是“孪生兄弟”（相似），有三大法宝！第一，“两角对应相等”（AA），这是最保险的，一眼定亲！第二和第三，都要用到“对应边成比例”。但这里有个大坑！阿星提醒你：只是两个角相等够吗？够！但要是用边判定，一定要夹角相等！ 这就好比相亲：光看身高比例像（边成比例）不行，还得看你们是不是面对面站（夹角相等）。所以SAS相似判定可以（已知比例的两边及其夹角相等），但SSA绝对不行（已知比例的两边和一个非夹角相等）！SSA是“冒牌货”，它可能画出两个不同的三角形。
• 阿星口诀：
  判定相似三招鲜，两角相等最简单。
  若要使用边比例，夹角相等是关键。
  SAS是正牌，SSA是捣乱！
• 公式推导（判定定理）：
  1. 两角相等（AA）： 若 \(\angle A = \angle A‘\)，\(\angle B = \angle B‘\)，则 \(\triangle ABC \sim \triangle A‘B‘C‘\)。
  2. 两边成比例且夹角相等（SAS）： 若 \(\frac{AB}{A‘B‘} = \frac{AC}{A‘C‘}\)，且 \(\angle A = \angle A‘\)，则 \(\triangle ABC \sim \triangle A‘B‘C‘\)。
  3. 三边成比例（SSS）： 若 \(\frac{AB}{A‘B‘} = \frac{BC}{B‘C‘} = \frac{CA}{C‘A‘}\)，则 \(\triangle ABC \sim \triangle A‘B‘C‘\)。

📐 图形解析（相似三角形判定 可视化）

【图形说明：此通用模型图展示了两个三角形 \(\triangle ABC\) 和 \(\triangle A‘B‘C‘\)。图中使用通用代数符号标注了边长 \(AB=c, BC=a, CA=b\) 和 \(A‘B‘=c‘, B‘C‘=a‘, C‘A‘=b‘\)，以及角 \(\angle A, \angle B, \angle C\) 和 \(\angle A‘, \angle B‘, \angle C‘\)。】

阿星解析：看图说话！要判断 \(\triangle ABC\) 和 \(\triangle A‘B‘C‘\) 是否相似，我们无需知道 \(a, b, c\) 的具体数值。

• 如果你想用AA判定，就去量（或计算）任意两个角，比如 \(\angle A\) 和 \(\angle B\)，看它们是否分别等于 \(\angle A‘\) 和 \(\angle B‘\)。
• 如果你想用SAS判定，就必须找到一组夹角。例如，检查 \(\frac{AB}{A‘B‘} = \frac{AC}{A‘C‘}\) 是否成立，同时必须验证它们之间的角 \(\angle A\) 和 \(\angle A‘\) 相等。图中的夹角已被高亮标出。
• 记住，如果你只知道 \(\frac{AB}{A‘B‘} = \frac{BC}{B‘C‘}\) 和 \(\angle C = \angle C‘\)，但 \(\angle C\) 并不是 \(AB\) 与 \(BC\) 的夹角，这就是SSA，不能作为判定依据！

⚠️ 易错警示：星火避坑指南

🔥 经典题型：三例精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（5道）

1. 下列每一组三角形中，两个三角形是否相似？如果相似，写出判定定理 (AA, SAS, SSS)。
   (a) 两个等腰直角三角形。
   (b) 两个顶角为 \(30°\) 的等腰三角形。
   (c) \(\triangle ABC\) 中，\(AB=5, BC=7, \angle B=60°\); \(\triangle DEF\) 中，\(DE=10, EF=14, \angle E=60°\)。
2. 如图，\(\angle 1 = \angle 2\)，请添加一个条件，使得 \(\triangle ABC \sim \triangle ADE\)。你添加的条件是？依据是？
3. 判断题：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。（ ）
4. 在 \(\triangle ABC\) 中，\(D\) 是 \(AB\) 上一点，当满足条件 \(\angle ACD =\) ______ 或 \(AC^2 = \) ______ 时，\(\triangle ACD \sim \triangle ABC\)。
5. 已知 \(\triangle ABC \sim \triangle A‘B‘C‘\)，且相似比为 \(2:3\)。若 \(BC\) 边上的高 \(AD=4\)，则 \(B‘C‘\) 边上的对应高 \(A‘D‘ =\) ______。

第二关：奥数挑战（5道）

1. （从特殊到一般）在正方形 \(ABCD\) 中，\(E\) 是 \(BC\) 中点，\(F\) 是 \(CD\) 上一点，且 \(CF = \frac{1}{4}CD\)。连接 \(AE, AF, EF\)。图中与 \(\triangle ABE\) 相似的三角形共有几个？请全部找出并证明。
2. （构造相似）点 \(P\) 是 \(\triangle ABC\) 内一点，过点 \(P\) 作 \(DE \parallel BC\) 交 \(AB\)、\(AC\) 于 \(D、E\)，作 \(FG \parallel AC\) 交 \(AB、BC\) 于 \(F、G\)，作 \(HK \parallel AB\) 交 \(AC、BC\) 于 \(H、K\)。求证：\(\frac{DE}{BC} + \frac{FG}{CA} + \frac{HK}{AB} = 2\)。
3. （比例中项与相似）如图，\(Rt\triangle ABC\) 中 \(\angle ACB=90°\)，\(CD \perp AB\) 于 \(D\)。请找出图中所有的相似三角形，并证明 \(CD^2 = AD \cdot BD\)。
4. （梅涅劳斯定理与相似）在 \(\triangle ABC\) 中，\(D\) 在 \(BC\) 上，且 \(BD:DC=2:1\)，\(E\) 在 \(AD\) 上，且 \(AE:ED=3:2\)，\(BE\) 延长线交 \(AC\) 于 \(F\)。求 \(AF:FC\)。
5. （相似与面积）\(\triangle ABC\) 的三边长分别为 \(5, 6, 7\)。将它的三条边分别向外延长一倍，得到三个新的顶点，连接这三个顶点构成一个大三角形。求这个大三角形的面积是原三角形面积的多少倍？

第三关：生活应用（5道）

1. （AI图像缩放）AI在处理图像时，需要保持内容不变形。将一张 \(1920 \times 1080\) 的矩形图片按比例缩放为 \(1280 \times 720\) 的图片。这两个矩形是否相似？如果相似，相似比是多少？
2. （航天工程）卫星在太空中需要利用恒星进行定位。在地面模拟系统中，工程师建造了一个比例为 \(1:100\) 的太阳系行星轨道模型。如果模型中地球轨道（近似圆形）的半径为 \(0.15\) 米，那么实际地球轨道的半径约为多少公里？
3. （建筑设计）为测量一栋玻璃幕墙建筑的高度，测量员在距建筑底部 \(50\) 米处立一根 \(2\) 米高的标杆，然后向后退，直到他的眼睛（离地 \(1.6\) 米）、标杆顶端和建筑顶端三点共线。此时他距标杆 \(3\) 米。请利用相似三角形原理，计算建筑的高度。
4. （网购包装）某公司生产一系列相似的硬纸盒（长方体），最小号的尺寸为 \(10cm \times 6cm \times 4cm\)。为了节省设计成本，中号和大号纸盒的各棱长与小号对应成相同比例。已知中号纸盒的体积是最小号的 \(8\) 倍，求中号纸盒的表面积。
5. （地理测绘）在地图上，A、B两城相距 \(5cm\)，实际距离为 \(100km\)。C城到A、B两城的图上距离分别为 \(3cm\) 和 \(4cm\)，且 \(\angle ACB\) 在地图上测量为 \(90°\)。请问根据地图信息，能否计算出C城到A、B两城的实际距离？为什么？这运用了相似三角形的哪个判定定理？

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参考答案