图解相似比：边长扩大2倍，为什么面积是4倍？| 小学数学易错题精讲：典型例题精讲
适用年级
几何
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最近更新
2025-12-20
🔍 阿星图解相似比：边长扩大2倍，为什么面积会变成4倍？
💡 阿星解密：为什么公式长这样？
想象一下，你有一个边长1厘米的小方块橡皮。现在，魔法师阿星对它施了个法：“边长扩大2倍！”
这个“扩大2倍”是什么意思呢？它指的是每条边的长度都变成原来的2倍。所以，新橡皮的边长是2厘米。
现在我们来比比它们的面积：
- 小橡皮面积：1厘米 × 1厘米 = 1平方厘米
- 大橡皮面积：2厘米 × 2厘米 = 4平方厘米
看，面积从1变成了4，扩大了4倍！为什么会这样？因为面积是“长×宽”，两个维度（长和宽）同时扩大了2倍，所以总效果就是 2 × 2 = 4 倍。
如果这是个正方体小积木，体积会怎样？
- 小积木体积：1×1×1 = 1立方厘米
- 大积木体积：2×2×2 = 8立方厘米
体积扩大了8倍！因为三个维度（长、宽、高）同时扩大了2倍，2×2×2=8。
👀 看图说话：边长、面积、体积的“维度魔术”
关键点拨：
图里的网格线揭示了秘密！当边长扩大2倍时，新图形能放下2×2=4个原图形。那个容易被忽略的“隐形数字”就是维度指数：
- 一维长度：直接乘以相似比 (k倍)
- 二维面积：要乘以相似比的平方 (k²倍)
- 三维体积：要乘以相似比的立方 (k³倍)
🔥 三级跳挑战：从陷阱到精通
【母题演示】两个相似三角形，小三角形的底边长6厘米，高4厘米。大三角形与小三角形的相似比是3:1。求大三角形的面积。
阿星的显微镜
1. 先算小三角形面积：(6×4)÷2 = 12平方厘米
2. 相似比是3:1，意思是边长扩大3倍
3. 面积是二维的，所以面积扩大倍数 = 相似比的平方 = 3² = 9倍
标准算式：\( 12 \times 3^2 = 12 \times 9 = 108 \) (平方厘米)
【易错陷阱】两个相似圆柱，小圆柱底面半径2厘米，高5厘米。大圆柱的体积是小圆柱的8倍。求这两个圆柱的相似比。
阿星的避雷针：
大多数人会怎么错：看到体积是8倍，直接答：相似比是8:1。
图解陷阱：这就像把“体积扩大8倍”误认为是“边长扩大8倍”。但图上显示，体积是三维的，它的变化和边长的立方有关。
正确思路：
1. 体积扩大8倍，即体积比是8:1
2. 体积比 = (相似比)³
3. 所以 (相似比)³ = 8
4. 相似比 = ∛8 = 2
答案：相似比是2:1
【高手进阶】一张长方形照片长15厘米，宽10厘米。现在要把它等比例放大，印在海报上。已知海报的面积是照片面积的2.25倍。求海报的周长。
思维迁移：这其实是一个“已知面积比求相似比”的逆向问题。
1. 面积比 = 2.25 = 225/100 = 9/4
2. 面积比 = (相似比)²，所以 (相似比)² = 9/4
3. 相似比 = √(9/4) = 3/2 = 1.5 (边长扩大1.5倍)
4. 原照片周长：(15+10)×2 = 50厘米
5. 周长是长度（一维），直接乘以相似比：50 × 1.5 = 75厘米
📝 阿星的定海神针（口诀）：
相似比，要分清，边长比例是根本。
面积要平方，体积要立方，维度指数记心上。
🚀 举一反三：巩固练习
两个相似正方形，小正方形边长5厘米，相似比是4:1。大正方形的周长是多少？
（陷阱题）两个相似长方体，它们的表面积之比是16:9。小明说它们的相似比是16:9，对吗？为什么？
（生活应用）两个相似的比萨，小比萨直径20厘米，售价30元。大比萨直径30厘米。如果价格完全由面积（即用料）决定，大比萨的合理价格应该是多少元？
📚 答案与解析
【答案速查】
- 练习一：80厘米。解析：大正方形边长 = 5×4=20厘米，周长=20×4=80厘米。
- 练习二：不对。解析：表面积是二维的，表面积比=(相似比)²。16:9=(4:1)²，所以相似比应该是4:3，而不是16:9。
- 练习三：67.5元。解析：直径比=30:20=3:2，这是相似比。面积比=(3/2)²=9/4=2.25倍。所以大比萨合理价格=30×2.25=67.5元。
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