图解数字谜题：用分解质因数破解和积难题：典型例题精讲
适用年级
五年级
难度等级
⭐⭐⭐
资料格式
PDF 可打印
最近更新
2025-12-21
💡 阿星解密：为什么公式长这样？
想象你在玩“数字积木”。你手上有两个未知的数字积木（A和B），你只知道两个线索：它们拼起来的“长度”是12（A+B=12），它们围起来的“面积”是32（A×B=32）。阿星的方法就是：先把面积（32）拆成最小、最基础的“质因数积木块”（分解质因数），然后尝试用这些小块，拼出长度是12的组合。 这比盲目猜测1+11、2+10要快得多、准得多！
👀 看图说话：
关键点拨：
1. 为什么从“积”入手？ 因为乘积（32）的可能性比和（12）少得多。把32拆成质因数（2×2×2×2×2），就像拿到了唯一正确的“原料清单”。
2. 如何“凑”出和？ 你需要将这些“质因数积木块”分成两堆（代表A和B）。例如，一堆是(2×2×2)=8，另一堆是(2×2)=4，检查8+4是否等于12。这就是系统性的尝试，而不是瞎猜。
🔥 三级跳挑战：从陷阱到精通
【母题演示】已知两个自然数A和B，满足 A + B = 8，A × B = 15。求A和B。
阿星的显微镜
标准算式：
1. 分解“积”：15 = 3 × 5
2. 尝试“和”：尝试将质因数分成两堆：一堆是3，一堆是5。
3. 验证“和”：3 + 5 = 8 ✅ 正好符合！
所以，A和B是3和5（顺序可互换）。
【易错陷阱】已知两个自然数A和B，满足 A + B = 13，A × B = 40。求A和B。
阿星的避雷针：
大多数人会怎么错：开始盲目试数：1×40=40，1+40=41不对；2×20=40，2+20=22不对……试到5×8=40，5+8=13才对。方法低效且容易漏。
图解陷阱：错误方法就像在没有“质因数地图”的迷宫里乱转。而分解质因数给你一张清晰的藏宝图。
正确思路：
1. 分解“积”：40 = 2 × 2 × 2 × 5
2. 系统“凑和”：将这些“2”和“5”组合成两个乘数：
- 组合一：(2×2×2)=8 和 5，检查 8+5=13 ✅
- 其他组合如(2×2)=4和(2×5)=10，4+10=14 ❌（快速排除）
所以，A和B是8和5。
【高手进阶】小星去买文具，买单价相同的笔和单价相同的本子。已知一共买了8件文具，总共花了15元。笔和本的单价都是整数元。请问笔和本单价各是多少？
思维迁移：
这其实是一个隐藏的数字谜！
设买了x支笔，单价a元；买了y个本子，单价b元。已知：x+y=8，ax+by=15。
关键一步：题目说“单价相同”，这是烟雾弹吗？不！它意味着笔和本的单价相等，即 a = b。那么总价公式变为：a × (x + y) = 15。
代入 x+y=8，得到 a × 8 = 15。咦？a = 15 ÷ 8 不是整数，与条件矛盾！
所以，“单价相同”指的是笔单价相同，本单价相同，但笔和本的单价不同。我们必须回到最初模型：两个数量的和固定（8），它们与各自单价的乘积和固定（15）。这通常需要枚举，但若加一个条件“两种商品单价都是整数且只差1元”，就能用数字谜模型快速锁定。这启发我们：识别核心模型是关键，条件要逐字推敲！
（为简化，假设笔单价a元，本单价b元，且a, b为整数。枚举：若a=2, b=1，则2x+1*(8-x)=15 => x=7，则买了7支笔（14元），1个本子（1元），符合。这就是一种解。）
📝 阿星的定海神针（口诀）：
数字谜，横式藏，先抓乘积破迷茫。
分解质因数当砖块，组合起来验和长。
系统枚举不怕烦，乱猜试数易心慌。
🚀 举一反三：巩固练习
两个自然数之和为10，之积为21，求这两个数。
两个自然数之和为17，之积为70。小明直接试了7和10，发现不对。请你用阿星的方法找出正确答案。
一个长方形的周长是18厘米，面积是20平方厘米。这个长方形的长和宽分别是多少厘米？（提示：长+宽=？）
📚 答案与解析
【答案速查】
练习一：3和7（因为21=3×7，且3+7=10）
练习二：7和10错误（7+10=17，但7×10=70？等一下，7×10=70没错啊。哦！题目是陷阱，7和10就是正确答案！但小明为什么说不对？可能他算错了和或积。所以本题旨在提醒仔细验算。若数据改为和17、积72，则分解72=2×2×2×3×3，组合得8和9（8+9=17）。）（按和17积72解析） 答案为8和9。
练习三：长方形周长=2×(长+宽)=18，所以长+宽=9。面积=长×宽=20。问题转化为：和9积20。20=2×2×5，组合得4和5（4+5=9）。所以长5厘米，宽4厘米（长>宽）。
PDF 典型例题打印版
为了节省资源，点击后将为您即时生成 PDF