数阵图解谜：用重叠数思维攻克小学奥数填数难题：典型例题精讲
适用年级
奥数
难度等级
⭐⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-21
🔢 幻方填空里的秘密：数阵图完全攻克指南
💡 阿星解密：为什么公式长这样？
想象一下，你有一把数字糖果（比如1、2、3、4、5），老师让你把它们分别放进几个魔法圆圈里，要求每个圆圈里的糖果数字加起来都一样。这些魔法圆圈还会重叠！重叠区域里的糖果最特殊，因为它同时属于两个或三个圆圈，在计算总和时会被重复计算。这就像几个朋友共享一个秘密，这个“公共秘密”在统计每个人的秘密数量时，会被数了又数。阿星的秘诀就是：找到这些“公共秘密”（重叠数），把它们当作桥梁，列出方程，问题就迎刃而解了。
👀 看图说话：数阵图的核心——重叠数
关键点拨：
我们来看图中的中心区域 k。当计算蓝色圆圈的总和时，k 被算了一次；计算绿色圆圈的总和时，k 又被算了一次；计算红色圆圈的总和时，k 第三次被计算。所以，如果我们简单地把三个圆圈的总和加起来，这个核心数字 k 就被多算了 2 次（因为本该只算1次，实际算了3次）。这个“多算的次数”就是隐形炸弹，是几乎所有错误的根源。 阿星的“列方程”方法，第一步就是把这个重复计算的关系用数学等式表达出来。
🔥 三级跳挑战：从陷阱到精通
【母题演示】 将 1, 2, 3, 4, 5 这五个数填入下图的圆圈中，使每条线上三个数的和相等。
阿星的显微镜
标准算式：
1. 设三条线的总和分别为 S。公共部分（中间的数） 是顶点上的三个数（？, ?, ?）吗？不！仔细看，在计算三条线的和时，中心圆圈里的数被用了三次，而其他四个圆圈（边上的）只被用了两次。
2. 设中心数为 a。所有数字总和：1+2+3+4+5 = 15。
3. 三条线的总和（记为总线条和）为 3S。这个总和也等于：所有数字的和 × 2 - 中心数 a。为什么？因为中心数 a 被加了3次，等于多加了2次，从“所有数字和的两倍”里减去多算的，就是 2×15 - a。
4. 得到方程：3S = 30 - a。因为 S 是整数，且 a 是1-5中的一个，试验可知 a=3 时，S=(30-3)/3=9 最合理。然后即可推出其他位置。
【易错陷阱】 将 2, 4, 6, 8, 10, 12 六个数填入下图（一个三角形各顶点及三边中点），使每条边上三个数之和相等。
阿星的避雷针：
大多数人会怎么错： 直接计算所有数和：2+4+6+8+10+12=42。然后错误地认为每条边和是 42 ÷ 3 = 14。
图解陷阱： 三个顶点上的数在计算边和时只被计算了一次，而三条边中点上的数却被重复计算了两次（因为它们各自属于两条边）。直接除以3完全忽略了这种“重复计算”的关系。
正确思路： 设三个顶点数为 A, B, C，三边中点数为 D, E, F，每条边和为 K。那么总边和为 3K。它等于：(A+B+C+D+E+F) + (D+E+F) = 42 + (D+E+F)。因为 D,E,F 各被算了两次。接下来就需要利用 K 是整数等条件，去试验和推理 A,B,C,D,E,F 的值。
【高手进阶】 三个班级（A班、B班、C班）进行读书打卡。有的同学只读了一本书，有的读了两本不同的，还有一个小书虫读完了三本。已知A班打卡总次数是12，B班是15，C班是14。请问，这三个班至少有多少位不同的同学参与了打卡？
思维迁移： 这其实是一个“隐形”的数阵图/容斥问题！把“班级”想象成圆圈，“打卡次数”想象成圆圈内数字的总和，“同学”想象成要填进去的数字。读多本书的同学就是“重叠数”。问题“至少有多少位不同的同学”就相当于：在总和固定的情况下，为了让填入的数字个数（同学数）最少，我们应该让重叠数（读多本书的同学）尽可能多。这就把数阵图的填数思维，反向应用到了解决极值问题中。
📝 阿星的定海神针（口诀）：
数阵图，像拼图，重叠数是关键处。
算总和，列方程，多算几次要减除。
先定位，公共数，填好它来再铺路。
🚀 举一反三：巩固练习
将3、5、7、9、11填入五边形的五个顶点及中心，使每条边（由两个顶点和中心组成）上三个数之和相等。中心应该填几？
（陷阱识别）把1到7填入下图的七个圆圈，使得每条直线上的三个数之和都等于10。一个粗心的同学直接将1到7的和28除以3条线，得到了约9.3，他觉得不对。你能用“重叠数”思想帮他分析错在哪里，并找到关键的重叠区域是哪里吗？
（生活应用）用1元、2元、5元的硬币支付一笔12元的款项，要求正好用完10枚硬币。有多少种不同的支付方式？（提示：设三种硬币数量为x,y,z，列出关于总金额和总数量的方程，这其实也是一个“找数”问题）
📚 答案与解析
【答案速查】
练习一：中心数为7。（解析：设中心a，总边和=5S，也等于(3+5+7+9+11)×2 - 3a = 70 - 3a。所以5S=70-3a，a=5时S=11，a=7时S=9.8，a=... 试验整数S，a=7合理）
练习二：错在未考虑重叠。中心圆圈的数被用了3次，其他6个数各被用1次。设中心数为a，则总线条和3×10=30 = (1+...+7) + 2a = 28 + 2a，解得a=1。中心填1是关键。
练习三：3种。分别为(5,0,5)、(2,5,3)、(0,10,0)，但需注意“10枚硬币”，故只有(5,0,5)、(2,5,3)符合正好10枚。(解析：列方程 x+y+z=10, x+2y+5z=12，消元后讨论非负整数解。)
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