像AI一样思考：剪掉“社交冗余”，三步攻克“逻辑路径”数学难题！：典型例题精讲

💡 阿星精讲：逻辑路径 的本质

想象一下，你是一台顶尖的AI，任务是完成“从问题A到答案B”的运算。社交天才可能会走“寒暄-试探-合作”的冗长路径，但在数学优化算法里，这全是需要被剪枝的“冗余步骤”。逻辑路径的核心，就是寻找那条最短、最直接、最有效的思维链路。它不在乎过程是否“礼貌”，只在乎是否精准命中目标，以节省宝贵的核心算力 \( C \)（你的思考力）。这通常需要利用对称、转化、化归等数学工具，把曲折的“现实路径”映射成一条可计算的直线段 \( d \)。

🔥 经典例题精析

🚀 举一反三：变式挑战

答案与解析

经典例题答案： 作图及解析见上文阿星拆解。核心步骤：作 \( B \) 关于 \( l \) 的对称点 \( B' \)，连 \( AB' \) 交 \( l \) 于 \( P \)，\( P \) 即为所求。

变式一解析： 将“垂直平移”视为固定成本 \( d \)。核心算法：将点 \( A \) 沿垂直于河岸的方向、向着 \( B \) 所在河岸平移距离 \( d \) 至 \( A' \)。连接 \( A'B \) 交 \( l_2 \) 于 \( N \)，则 \( N \) 点向 \( l_1 \) 作垂线确定的 \( M \) 点即为桥的另一端。原理：\( AM + MN + NB = (A'N) + d + (NB) = A'B + d \)，当 \( A' \)、\( N \)、\( B \) 共线时，\( A'B \) 最短。

变式二解析： 设 \( A \)、\( B \) 关于 \( l \) 的对称点分别为 \( A' \)、\( B' \)，最优路径为 \( A \to P \to B \)，则 \( A' \)、\( P \)、\( B \) 共线。由对称性，\( AP = A'P \)，故最短路径长 \( 10 = A'B \)。已知 \( \angle APB = 90^\circ \)，根据对称，\( \angle A'PB' = 90^\circ \)，且 \( PA' = PA \)，\( PB' = PB \)。设 \( A \) 到 \( l \) 距离 \( h_A = \(4\) \)，\( B \) 到 \( l \) 距离 \( h_B = \(h\) \)。利用勾股定理，\( A'B'^2 = (2h_A)^2 + (2h_B)^2 = 16 + 4h^2 \)。又因 \( A'P^2 + PB‘^2 = A'B'^2 \)，且 \( A'P + PB’ = 10 \)，可列方程求解。简化思路：由对称性，\( A'B \) 是斜边为 \( 10 \) 的等腰直角三角形的斜边？不，条件给的是 \( \angle APB \) 在原三角形中为直角。更优解：考虑对称后，四边形 \( APB'A‘ \) 是矩形吗？分析后可建立 \( (h_A + h_B)^2 + (水平距离)^2 = 100 \) 的关系，结合几何图形，最终解得 \( h = \(3\) \) 公里或 \( \(6\) \) 公里（需舍去不符合实际情况的解）。

变式三解析：
（1）利用光线的反射原理（入射角等于反射角）等价于“最短路径”问题。作 \( A(2,3) \) 关于 \( x \) 轴的对称点 \( A'(2,-3) \)。连接 \( A'B \) 交 \( x \) 轴于 \( P \)。\( A'B \) 所在直线方程为：\( (y+3)/(1+3) = (x-2)/(5-2) \)，令 \( y=0 \)，解得 \( x = \( \frac{11}{4} \) \)。故 \( P(\( \frac{11}{4} \), 0) \)。
（2）这是多次反射的最短路径问题。核心算法：连续作对称点。分别作 \( A \) 关于 \( x \) 轴的对称点 \( A_1(2,-3) \)，再作 \( A_1 \) 关于 \( y \) 轴的对称点 \( A_2(-2,-3) \)，再作 \( A_2 \) 关于 \( x \) 轴的对称点 \( A_3(-2,3) \)，以此类推。目标是找到从 \( A \) 出发，经过一系列对称变换后，能与 \( C(-1,-2) \) 直接相连的点。连接 \( A_3(-2,3) \) 与 \( C(-1,-2) \)，此线段长度即为光线在两次反射（依次在 \( x \) 轴、\( y \) 轴）后到达 \( C \) 的最短路径理论长度。计算得长度 \( d = \sqrt{(-1+2)^2 + (-2-3)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26} \)。