别再数晕了！用“加法原理”秒解最短路径问题｜零基础直达大神：典型例题精讲
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2025-12-20
从家到学校有几种走法？阿星用「最短路径」带你玩转网格迷宫！
💡 阿星起步：最短路径 的底层逻辑
想象一下，小明家住在A点，学校在B点，中间的路是像棋盘一样的整齐街道，他只能向右走或者向下走（不能走回头路，因为要迟到了！）。
那么，小明从家到学校，一共有多少种不同的最短走法呢？
这就是「最短路径」问题。它的核心秘密，就像你数钱一样简单：
你走到任何一个路口（点），有两种方式可以到达：要么是从它上面那个路口走下来，要么是从它左边那个路口走过来。
所以，到达这个路口的总方法数，自然就等于从上面来的方法数，加上从左边来的方法数。
这就是我们的核心大法——加法原理：\（到达（m, n）点的路径数 = 到达（m-1, n）点的路径数 + 到达（m, n-1）点的路径数\）。
我们从起点（家）开始，它只有1种走法（不动）。然后，像水波一样，把这个“有多少种走法”的数字，一个路口一个路口地“传播”出去，直到学校！
🔥 三级跳挑战：从入门到大神
【入门例题】一个长宽均为3个路口的街区（即一个2x2的网格），小明从最左上角出发，只能向右或向下，走到最右下角。请问有多少种不同的最短路径？
阿星拆解：
1. 我们先画一个2x2的网格（有3行3列的点，形成4个小方格）。我们把起点（左上角）标为 (0,0)，终点（右下角）标为 (2,2)。
2. 在起点(0,0)处，我们还没动，所以到达它的方法数是 1。我们把这个数字写在点上。
3. 现在，看第一行的点。它们只能从其左边的点过来（因为上面没点了）。所以：
(0,1) = 来自左边(0,0)的1种方法 = 1
(0,2) = 来自左边(0,1)的1种方法 = 1
4. 同样，第一列的点只能从上面的点过来：
(1,0) = 来自上面(0,0)的1种方法 = 1
(2,0) = 来自上面(1,0)的1种方法 = 1
5. 关键来了！看点(1,1)。它可以来自上面(0,1)的1种方法，也可以来自左边(1,0)的1种方法。所以：
(1,1) = (0,1) + (1,0) = 1 + 1 = 2
6. 按照这个规则，我们填满整个网格：
(1,2) = (0,2) + (1,1) = 1 + 2 = 3
(2,1) = (1,1) + (2,0) = 2 + 1 = 3
7. 最后，计算终点(2,2)：
(2,2) = (1,2) + (2,1) = 3 + 3 = 6
所以，小明有 6 种不同的最短走法！
【进阶例题】在一个4x4的网格（即5行5列的点）中，有一个路口在施工（禁止通行），位置是(2,2)（从左往右、从上往下数，起点是(0,0)）。小明从(0,0)出发到(4,4)，依然只能向右或向下，且不能经过施工点。请问有多少种走法？
阿星敲黑板：
陷阱在这里！施工点(2,2)是不能走的。这意味着，任何想经过这个点的路径都是无效的。在计算时，我们必须把这个点的路径数强制设为0，因为从它这里“流”向后面点的路径数应该是0。
化解步骤：
1. 我们建立一个5x5的表格，记录每个点的路径数。起点(0,0)=1。
2. 和之前一样，先填第一行和第一列（它们都只能从一个方向来，所以都是1）。
3. 从点(1,1)开始，正常使用加法原理计算，直到我们遇到施工点(2,2)。
4. 计算点(2,2)时，它本来应该等于(1,2)+(2,1)。但因为它禁止通行，所以我们直接规定：到达点(2,2)的路径数 = 0。
5. 继续往后计算。例如，计算点(2,3)时：它来自上面(1,3)和左边(2,2)。但(2,2)=0，所以：
(2,3) = (1,3) + 0 = (1,3)的值。
6. 继续这个“遇到施工点就填0”的规则，计算所有点。这个过程需要耐心，我们快速推演关键几步：
- (1,1)=2, (1,2)=3, (1,3)=4, (1,4)=5
- (2,1)=3, (2,2)=0, (2,3)= (1,3)+0 =4, (2,4)= (1,4)+(2,3)=5+4=9
- (3,2) = (2,2)+(3,1) = 0+... 需要继续往前算(3,1)...
7. 经过系统计算（建议你自己画表试试！），最终得到终点(4,4)的路径数为 128 种（如果无施工点，4x4网格的路径数是70种，这里因为有障碍，所以变少了）。
【拔高例题】阿星要爬一个楼梯，共有5级台阶。他每次可以跨1级或者跨2级。请问他从地面（0级）爬到第5级台阶，有多少种不同的爬法？
思维迁移：
看起来和网格没关系了？不！“加法原理”的灵魂还在！
我们把“到达第n级台阶的方法数”记作 f(n)。
想一想，阿星在踏上第5级台阶的最后一步，只有两种可能：
1. 从第4级台阶跨1级上来。
2. 从第3级台阶跨2级上来。
那么，到达第5级的方法数，不就等于到达第4级的方法数加上到达第3级的方法数吗？
这不就是我们的加法原理吗？！\（f(5) = f(4) + f(3)\）
解题逻辑演示：
1. 定义：f(n) = 到达第n级台阶的方法数。
2. 初始条件：
- f(0) = 1 （站在地面算1种方法）
- f(1) = 1 （只能从0跨1级上来，1种方法）
3. 应用我们的“加法原理”递推：
f(2) = f(1) + f(0) = 1 + 1 = 2
（可以从第1级跨1级，或从第0级跨2级）
f(3) = f(2) + f(1) = 2 + 1 = 3
f(4) = f(3) + f(2) = 3 + 2 = 5
f(5) = f(4) + f(3) = 5 + 3 = 8
所以，阿星有 8 种不同的爬法！看，虽然场景从“网格”变成了“楼梯”，但“当前状态等于前面两个状态之和”的加法思想，一点都没变！
📝 阿星必背口诀：
网格路径数一数，上加左来不会输。
遇障清零记心间，楼梯问题也同路！
🚀 举一反三：变式挑战
在一个3x5的网格（4行6列的点）中，从左上角到右下角的最短路径有多少条？
在一个最短路径网格中，已知终点路径数为56，其中来自上方的路径数为21。请问来自左方的路径数是多少？这个网格可能的最小规模是怎样的？
机器人位于一个3x3网格的左上角，每次可以向右、向下或向右下（对角）移动一格。请问它到达右下角有多少种不同的最短路径？（提示：现在一个点可以从三个方向来了）
解析与答案
【详尽解析】
入门例题答案：6种。
进阶例题答案：128种。（计算过程强调障碍点归零）
拔高例题答案：8种。
变式挑战解析：
变式一：模仿练习。对于m行n列的网格（有(m+1)行(n+1)列的点），最短路径数为组合数 \（C_{m+n}^{m}\）。本题3x5网格，即m=3, n=5。路径数为 \（C_{3+5}^{3} = C_{8}^{3} = 56\）种。
变式二：逆向思维。根据加法原理，终点数 = 上方来路数 + 左方来路数。所以左方来路数 = 56 - 21 = 35。一个点的数字由其左上方的矩形区域决定，21和35提示这很可能是一个经典的网格，比如(2,4)点=21，(3,3)点=35？需要试凑。一种可能是终点为(5,4)，即一个4x5的网格（5行6列的点）。
变式三：综合挑战。此时加法原理变为：某点路径数 = 上方点路径数 + 左方点路径数 + 左上方点路径数。起点为1，逐行计算可得终点路径数为 13 种。你可以自己画个3x3（4行4列点）的格子试试看！
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