初二数学期末急救：因式分解（十字相乘法）易错题合集与避坑指南 | 星火网：典型例题精讲

【易错题1：符号陷阱】 分解因式：\( x^2 - 3x - 4 \)

💀 错误率：80%

❌ 常见错误：学生看到常数项是 \( -4 \)，会尝试 \( -2 \) 和 \( 2 \)（和为0），或者 \( 1 \) 和 \( -4 \)（和为 \( -3 \) 但乘积是 \( -4 \) 吗？等等，这里容易乱）。很多人会错误地写成 \( (x-4)(x+1) \)，因为 \( (-4)+1=-3 \)，看似符合，但交叉验证：\( -4 \times 1 = -4 \)，正确。这个错误极具迷惑性！但顺序错了。应该是 \( (x+1)(x-4) \)？不，我们来看看。

✅ 阿星解析：

1. 定符号：常数项 \( -4 \) 为负，说明拆成的两个数 \( p \) 和 \( q \) 一正一负。
2. 定数值：一次项系数为 \( -3 \)，说明负的那个数的绝对值要更大。我们需要找两个数，乘积为 \( -4 \)，和为 \( -3 \)。
   • 可能的组合：\( 1 \) 和 \( -4 \)（和 = \( -3 \)），\( -1 \) 和 \( 4 \)（和 = \( 3 \)），\( 2 \) 和 \( -2 \)（和 = \( 0 \)）。
   • 只有 \( 1 \) 和 \( -4 \) 满足条件。
3. 写因式：正确的拆分对应 \( (x + 1)(x - 4) \)。验证：\( (x+1)(x-4) = x^2 -4x + 1x -4 = x^2 -3x -4 \)。✓
   坑点警示：千万不要把数字和它前面的符号拆散！\( -4 \) 对应的是 \( (x - 4) \)，而不是把 \( -4 \) 单独拿出来然后随便配个 \( +1 \)。“配对”时，数字和它前面的符号是一个整体。

【易错题2：系数陷阱】 分解因式：\( 2x^2 - 7x + 3 \)

💀 错误率：90%

❌ 常见错误：直接去拆分常数项 \( 3 \) 为 \( -1 \) 和 \( -3 \) 或 \( 1 \) 和 \( 3 \)，发现怎么凑都得不到 \( -7 \)，陷入迷茫。或者错误地分解为 \( (2x-3)(x-1) \)，验证：\( 2x^2 -2x -3x + 3 = 2x^2 -5x + 3 \)，错误。

✅ 阿星解析：

1. 扩大目标：二次项系数 \( a=2 \)，常数项 \( c=3 \)。我们的新目标是：找到两个数 \( m \) 和 \( n \)，使得 \( m \times n = a \times c = 2 \times 3 = 6 \)，且 \( m + n = b = -7 \)。
2. 拼凑数字：乘积为 \( 6 \)，和为 \( -7 \)。两个数必须同为负（因为和为负，积为正）。
   • 可能的组合：\( -1 \) 和 \( -6 \)（和 = \( -7 \)），\( -2 \) 和 \( -3 \)（和 = \( -5 \)）。
   • 故选 \( m = -1, n = -6 \)。
3. 十字书写与分组：
   \[ \begin{array}{c} 2x^2 \quad +3 \\ \begin{array}{cc} 1x & -1 \\ 2x & -3 \\ \end{array} \\ \hline -6x + (-1x) = -7x \end{array} \]
   因此，原式可拆分为 \( 2x^2 -1x -6x + 3 \)。
4. 分组分解：\( (2x^2 - 1x) + (-6x + 3) = x(2x-1) - 3(2x-1) \)。
5. 提公因式：\( (2x-1)(x-3) \)。最终答案： \( (2x-1)(x-3) \)。验证一下：\( (2x-1)(x-3) = 2x^2 -6x -1x +3 = 2x^2 -7x +3 \)。✓

【易错题3：分解不彻底陷阱（进阶）】 分解因式：\( x^4 - 13x^2 + 36 \)

💀 错误率：95%

❌ 常见错误：1. 直接无从下手。2. 发现 \( x^4 \) 是 \( (x^2)^2 \)，设 \( y = x^2 \) 后得到 \( y^2 -13y +36 \)，用十字相乘分解为 \( (y-4)(y-9) \)，然后就写成 \( (x^2-4)(x^2-9) \) 结束，掉入陷阱！

✅ 阿星解析：

1. 识别结构：这是一个关于 \( x^2 \) 的二次三项式。令 \( y = x^2 \)，则原式 = \( y^2 - 13y + 36 \)。
2. 第一次十字相乘：分解 \( y^2 - 13y + 36 \)。
   • 找两数乘积为 \( 36 \)，和为 \( -13 \)。显然是 \( -4 \) 和 \( -9 \)。
   • 所以 = \( (y - 4)(y - 9) \)。
3. 回代并警惕：回代 \( y = x^2 \)，得到 \( (x^2 - 4)(x^2 - 9) \)。此时切勿停止！检查每个括号是否还能分解。
4. 第二次分解：\( x^2 - 4 \) 是平方差公式：\( (x+2)(x-2) \)。\( x^2 - 9 \) 也是平方差公式：\( (x+3)(x-3) \)。
5. 最终答案：\( (x+2)(x-2)(x+3)(x-3) \)。
   核心教训：因式分解要像剥洋葱，剥到芯为止！每个因式都要检查是否满足平方差 \( a^2-b^2 \) 或完全平方 \( a^2 \pm 2ab + b^2 \) 等形式。

图解：分解过程就像层层拆解，每一步都要检查是否还能继续分解（绿色框为最终不可再分的因式）。