六年级数学期末急救：商与被除数的关系易错题合集与避坑指南 | 星火网：典型例题精讲

💡 阿星精讲：商与被除数的关系 的核心避坑原理

• 概念重塑：别再把除法看成“一定变小”的魔法啦！除法比较的结果，关键在于看 “除数” 这个“魔法因子”。
  • 当除数 大于1 时（比如 ÷2， ÷\( \frac{5}{3} \)），这个“魔法”是缩小术，商 < 被除数。
  • 当除数 等于1 时，这个魔法是“复制术”，商 = 被除数。
  • 当除数 小于1 时（比如 ÷\( \frac{1}{2} \)， ÷0.5），这个“魔法”是放大术！商 > 被除数。这就是“越除越多”的真相！
• 避坑口诀：
  除法比较看除数，大于1小要记住，等于1时原样出。
  （更通俗版：除数比1大，商就比它小；除数比1小，商就比它大；除数等于1，商就等于它。）

⚠️ 90%的学生都会踩的3大“陷阱”

• ❌ 陷阱一（概念混淆型）：把“除以一个数”和“乘以这个数”的结果搞混。看到 ÷\( \frac{4}{5} \)，脑子里想的却是 ×\( \frac{4}{5} \)，自然就填了“＜”。
  → ✅ 正解：紧紧抓住“除数”来判断。\( \frac{4}{5} \) < 1，所以是“放大魔法”，结果应该填“＞”。
• ❌ 陷阱二（视觉误导型）：只凭感觉和数的大小去判断，不分析除数的性质。例如，看到 ÷\( \frac{9}{8} \) 感觉除数是个真分数，但其实 \( \frac{9}{8} \) > 1。
  → ✅ 正解：养成条件反射：先看除数与1的关系！把除数和1比大小是必须做的第一步。
• ❌ 陷阱三（计算粗心型）：在比较 \( A ÷ \frac{5}{4} \) 和 \( A \) 时，不小心把除数 \( \frac{5}{4} \) 算成 < 1，或者把 \( A \) 当成一个具体正数后，忽略了其值为0的特殊情况。
  → ✅ 正解：1. 冷静计算或比较 \( \frac{5}{4} \) 与1的大小。2. 牢记：当被除数 A = 0 时，无论除数是多少（0除外），商都等于0，即商等于被除数。

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🚀 易错专项训练（你能全对吗？）

第一关：火眼金睛（判断对错 5题）

1. 一个数除以假分数，商一定小于这个数。 ( )
2. \( 0.75 ÷ \frac{5}{4} \) 的商大于0.75。 ( )
3. 如果 \( a × \frac{2}{3} = b ÷ \frac{2}{3} \) (a、b均不为0)，那么 \( a < b \)。 ( )
4. 在“ \( △ ÷ □ = ○ \) ”中，如果 \( ○ \) 比 \( △ \) 大，那么 \( □ \) 一定是一个真分数。 ( )
5. 一个不为0的数除以 \( \frac{1}{100} \)，相当于把这个数扩大到原来的100倍。 ( )

第二关：防坑演练（填空 5题）

1. 不计算，在○里填上>、<或=。
   1. \( \frac{7}{8} ÷ \frac{4}{3} \) ○ \( \frac{7}{8} \)
   2. \( \frac{9}{10} ÷ 0.9 \) ○ \( \frac{9}{10} \)
   3. \( 0 ÷ \frac{201}{202} \) ○ 0
   4. 如果 \( 1 ÷ A > 1 \)，那么 \( A \) ○ 1。
2. 已知 \( M × 0.8 = N ÷ 0.8 \) (M、N均大于0)，那么 \( M \) 和 \( N \) 相比，\( M \) \( \underline{\hspace{2em}} \) N。
3. 一个正方形的周长是 \( \frac{8}{9} \) 分米，它的边长是 \( \underline{\hspace{2em}} \) 分米。这个边长数值比周长数值 \( \underline{\hspace{2em}} \) (填“大”或“小”)。
4. \( A ÷ B = 2.5 \)，那么 \( (A × 2) ÷ B = \) \( \underline{\hspace{2em}} \)；\( A ÷ (B × 2) = \) \( \underline{\hspace{2em}} \)。
5. 小明在比较 \( \frac{3}{4} ÷ \frac{1}{x} \) 和 \( \frac{3}{4} \) 的大小时，认为只要 \( x>0 \)，商就一定大于 \( \frac{3}{4} \)。他的想法是\( \underline{\hspace{2em}} \)的，因为\( \underline{\hspace{2em}} \)。

答案与详细解析

第一关：火眼金睛

1. ×。假分数≥1。当假分数=1时，商等于这个数；当假分数>1时，商小于这个数。题目说“一定小于”，忽略了等于1的情况。
2. ×。除数 \( \frac{5}{4}=1.25 > 1 \)，商应小于被除数0.75。
3. √。由 \( b ÷ \frac{2}{3} = b × \frac{3}{2} \)，所以原式化为 \( a × \frac{2}{3} = b × \frac{3}{2} \)。因为 \( \frac{2}{3} < \frac{3}{2} \)，要令乘积相等，必有 \( a > b \)。但题目问 \( a < b \)，所以错误？等等，仔细看题：“\( a × \frac{2}{3} = b ÷ \frac{2}{3} \)”意味着 \( b ÷ \frac{2}{3} = b × \frac{3}{2} \)，所以是 \( a × \frac{2}{3} = b × \frac{3}{2} \)。要令等式成立，且a、b>0，则系数大的b必然小。所以 \( b < a \)，即 \( a > b \)。题目说“\( a < b \)”是错误的。故此题应判“×”。（本题为陷阱题，旨在检验是否真的进行计算推理）
4. √。商(○)比被除数(△)大，说明除数(□)小于1，且不为0。小于1的非零分数或小数，可以称为广义的“真分数”（在正数范围内理解）。
5. √。除以 \( \frac{1}{100} \) 等于乘以100。

第二关：防坑演练

1. 1. <。除数 \( \frac{4}{3} > 1 \)。
   2. =。除数 \( 0.9 < 1 \)？错！ \( 0.9 < 1 \)，商应该大于被除数？再仔细看：\( 0.9 = \frac{9}{10} \)，所以 \( \frac{9}{10} ÷ 0.9 = \frac{9}{10} ÷ \frac{9}{10} = 1 \)，而 \( 1 > \frac{9}{10} \)。所以填 >。或者不计算：除数0.9<1，直接判断商>被除数。因此正确答案是 >。
   3. =。0除以任何非零数得0。
   4. <。1 ÷ A > 1，说明除数A < 1。
2. 大于 (>)。\( N ÷ 0.8 = N × 1.25 \)。所以 \( M × 0.8 = N × 1.25 \)。因为 \( 0.8 < 1.25 \)，要使得等式成立，M必须大于N。
3. \( \frac{2}{9} \)，小。边长 = 周长 ÷ 4 = \( \frac{8}{9} ÷ 4 = \frac{2}{9} \) (分米)。除数4 > 1，所以商（边长）< 被除数（周长数值）。
4. 5，1.25。根据商的变化规律：被除数A乘2，除数B不变，商也乘2，\( 2.5 × 2 = 5 \)。被除数A不变，除数B乘2，商除以2，\( 2.5 ÷ 2 = 1.25 \)。
5. 错误，因为当x>0时，\( \frac{1}{x} \) 不一定小于1。例如当x=0.5时，\( \frac{1}{x}=2 >1 \)，商反而会小于 \( \frac{3}{4} \) 。只有当 \( x>1 \) 时，\( \frac{1}{x} <1 \)，商才大于被除数。