揭秘谷歌排名的数学魔法：3道题弄懂PageRank与特征向量：典型例题精讲

💡 阿星精讲：搜索引擎 的本质

想象整个互联网是一张巨大的“蜘蛛网”，每个网页是网上的一个节点。网页之间通过超链接“手拉手”。谷歌的PageRank魔法就在于：它把这张网变成了一幅“投票地图”。一个网页被越多的“重要”网页链接，它自己就越重要，排名就越高。

这个过程在数学上，是一个迭代与收敛的游戏。我们将链接关系表示为一个矩阵 \( A \)（称为转移矩阵），将每个网页的初始重要性表示为一个向量 \( \vec{v_0} \)。当我们不断地进行矩阵乘法：\( \vec{v_{n+1}} = A \cdot \vec{v_n} \)，经过足够多次迭代后，向量 \( \vec{v_n} \) 会稳定下来，不再发生大的变化。这个稳定的向量 \( \vec{v} \) 就是矩阵 \( A \) 的“主特征向量”，它里面每个分量的大小，就代表了对应网页的最终权重！所以，搜索引擎排名的核心，就是在求解一个巨型矩阵的特征向量问题。

🔥 经典例题精析

🚀 举一反三：变式挑战

答案与解析

经典例题答案： 转移矩阵 \( A \) 及 \( \vec{v_1} \) 如解析中所示， \( \vec{v_1} = [\frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2}]^T \)。

变式一解析：
从 \( A \) 出发，投给 \( B \) 一票，价值 \( 1 \)。从 \( B \) 出发，总票数 \( 2 \)，分别给 \( A \) 和 \( C \) 各 \( \frac{1}{2} \) 票。从 \( C \) 出发，投给 \( A \) 一票，价值 \( 1 \)。
令列顺序为 \( [A, B, C] \)，则转移矩阵为：
\( A = \begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{2} & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \end{bmatrix} \)

变式二解析：
矩阵列序代表“从哪个页面发出”。第一列 \( [0, 1, 0]^T \) 表示：页面1（从谁出发）将全部一票投给了页面2（第2行是1）。
第二列 \( [0.5, 0, 0.5]^T \) 表示：页面2给页面1和页面3各投一半票（它总共有两条出链）。
第三列 \( [0, 1, 0]^T \) 表示：页面3将全部一票投给了页面2。
所以，链接结构是：1→2；2→1 和 2→3；3→2。

变式三解析：
已知 \( N = 3 \)， \( \vec{e} = [1, 1, 1]^T \)， \( d = 0.85 \)， \( \vec{v_0} = [\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}]^T \)， \( A \) 来自经典例题。
首先计算随机跳转部分：\( (1-d)\frac{\vec{e}}{N} = 0.15 \times \frac{1}{3} \times [1, 1, 1]^T = [0.05, 0.05, 0.05]^T \)。
再计算链接投票部分：\( dA \cdot \vec{v_0} = 0.85 \times [\frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2}]^T = [\frac{0.85}{3}, \frac{0.85}{6}, \frac{0.85}{2}]^T = [0.2833..., 0.1416..., 0.425]^T \)。
两者相加得：
\( \vec{v_1} = [0.05+0.2833..., 0.05+0.1416..., 0.05+0.425]^T = [0.3333..., 0.1916..., 0.475]^T \)。
近似为 \( \vec{v_1} \approx [0.333, 0.192, 0.475]^T \)。