初三数学期末急救：三角形的外心易错题合集与避坑指南 | 星火网：典型例题精讲

💡 阿星精讲：三角形的外心 的核心避坑原理

• 概念重塑：三角形的“心”有好几个，最容易搞混的就是外心和内心。请跟我念：外心是“三边垂直平分线”的交点。想象一下，你要给三角形\( \triangle ABC \)做一个外接圆，怎么找圆心？你得找到到\( A, B, C \)三个顶点距离都相等的那个点。而“到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”。所以，你必须作两条边的垂直平分线，它们的交点O，就是外心！它到三个顶点的距离\( OA=OB=OC \)，这个距离就是外接圆的半径\( R \)。而内心是三条角平分线的交点，它是内切圆的圆心。一个管“外接”，一个管“内切”；一个靠“垂直平分”，一个靠“角平分”。千万别张冠李戴！
• 避坑口诀：外心垂直平分找，内心角平分线交。外接圆心三个点，内心切圆仅一边。

⚠️ 90%的学生都会踩的3大“陷阱”

• ❌ 陷阱一（概念混淆型）：看到“三角形的外心”，下意识地去连接顶点和它对边中点（中线），或者去作角平分线。→ ✅ 正解：外心的唯一身份证是“垂直平分线交点”。审题时立刻在脑中划重点：垂直！平分！边！
• ❌ 陷阱二（视觉误导型）：认为外心永远在三角形内部。→ ✅ 正解：外心的位置由三角形的形状决定：锐角三角形在内部，直角三角形在斜边中点，钝角三角形在外部。判断位置是解题关键第一步！
• ❌ 陷阱三（计算粗心型）：在直角三角形中，已知斜边长，求外接圆半径时，忘记“直角三角形外接圆半径等于斜边的一半”这个秒杀结论，转而用复杂的垂直平分线方程去求。→ ✅ 正解：见到直角三角形，先看是否要求外接圆半径。如果是，立刻反应：\( R = \frac{斜边}{2} \)。这是由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”以及“外心在斜边中点”共同决定的。

🔥 经典易错题精讲（附 SVG 图解）

🚀 易错专项训练（你能全对吗？）

第一关：火眼金睛（判断对错 5题）

1. 任意三角形的外心都在三角形内部。
2. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等。
3. 在\( \triangle ABC \)中，\( O \)是外心，若\( \angle BOC = 100^\circ \)，则\( \angle A = 50^\circ \)。
4. 直角三角形的外心是三条高的交点。
5. 等腰三角形的外心一定在底边的垂直平分线上。

第二关：防坑演练（填空 5题）

1. 若\( \triangle ABC \)的外心在边\( BC \)上，则\( \angle A = \) \( \underline{\hspace{2em}} \)度。
2. 边长为\( 6 \)的等边三角形，其外接圆半径为\( \underline{\hspace{2em}} \)。
3. 在\( \triangle ABC \)中，\( AB=AC=5 \)，\( BC=6 \)，点\( O \)为外心。则点\( O \)到边\( BC \)的距离为\( \underline{\hspace{2em}} \)。
4. 直角三角形的两条直角边分别为\( 3 \)和\( 4 \)，则此外接圆的半径为\( \underline{\hspace{2em}} \)，内心与外心的距离是\( \underline{\hspace{2em}} \)。
5. 已知平面直角坐标系中三点\( A(0,0), B(4,0), C(0,3) \)，则\( \triangle ABC \)外心的坐标是\( \underline{\hspace{4em}} \)。

答案与详细解析

第一关：火眼金睛

1. 错。钝角三角形的外心在三角形外部。
2. 对。这是外心的核心性质。
3. 对。根据圆心角与圆周角的关系，\( \angle A = \frac{1}{2} \angle BOC = 50^\circ \)。
4. 错。直角三角形的外心是斜边的中点。三条高的交点叫垂心，对于直角三角形，垂心是直角顶点。
5. 对。外心是三边垂直平分线的交点，等腰三角形底边的垂直平分线一定是其中一条，所以外心必在其上。

第二关：防坑演练

1. \( 90^\circ \)。 外心在边上，说明该边是直径，其所对的角是直角。
2. \( 2\sqrt{3} \)。 等边三角形外接圆半径公式：\( R = \frac{\sqrt{3}}{3}a = \frac{\sqrt{3}}{3} \times 6 = 2\sqrt{3} \)。
3. \( \frac{7}{8} \)。 等腰\( \triangle ABC \)，作\( AD \perp BC \)于\( D \)，则\( BD=3 \)，\( AD= \sqrt{5^2-3^2}=4 \)。外心\( O \)在\( AD \)上。设\( OA=OB=R \)，在\( Rt\triangle OBD \)中，\( R^2 = 3^2 + (4-R)^2 \)，解得\( R = \frac{25}{8} \)。距离\( OD = AD - R = 4 - \frac{25}{8} = \frac{7}{8} \)。
4. \( 2.5 \)， \( \frac{\sqrt{5}}{2} \)。 斜边为\( 5 \)，所以外接圆半径\( R = \frac{5}{2} = 2.5 \)。内心到三边距离相等为\( r \)，由面积法：\( \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = \frac{1}{2} r \times (3+4+5) \)，得\( r=1 \)。建立坐标系：以直角顶点为原点，两直角边为坐标轴，则内心坐标为\( (1, 1) \)，外心（斜边中点）坐标为\( (1.5, 2) \)。距离为\( \sqrt{(1.5-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{0.25+1} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2} \)。
5. \( (2, 1.5) \)。 \( A(0,0), B(4,0), C(0,3) \)构成直角三角形，\( \angle A=90^\circ \)。因此外心为斜边\( BC \)的中点，坐标为\( \left( \frac{4+0}{2}, \frac{0+3}{2} \right) = (2, 1.5) \)。